Классические методы математической физики - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Π[α
′
, β
′
]
ϕ
Π[α, β]
ϕ
u ϕ
[α, β] u
[α, β]
C
m
(Ω)
ϕ ∈ C
m
[α, β] m = 1, 2, ..., u ∈ C
m
(Π[α, β])
ϕ
[α, β]
t
x
u(x, t) = ϕ(x − t)
[c, d] t
u(0, t) = g(t), t ∈ [c, d],
g
u Π[c, d]
[c, d]
u(x, t) = g(t − x)
Γ (x, t)
Γ
u|
Γ
= ϕ,
Φ
Γ
x = x
s
≡ ξ(s) t = t
s
≡ η(s) s ∈ [s
1
, s
2
]
ϕ s Γ
Π[α′, β ′ ], ãðàíèöû êîòîðîé ïîìå÷åíû ïóíêòèðîì íà ðèñ. 2.1à. Òàê êàê òà-
êîå ïðîäîëæåíèå óíêöèè ϕ ìîæåò áûòü âûïîëíåíî áåñêîíå÷íûì êîëè÷å-
ñòâîì ñïîñîáîâ, òî è ðåøåíèé çàäà÷è (2.1), (2.4) â áîëåå øèðîêîé ïîëîñå
áóäåò áåñêîíå÷íî ìíîãî. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî èìåííî ïîëîñà Π[α, β] èìååò
ñìûñë îáëàñòè åäèíñòâåííîñòè äëÿ çàäà÷è Êîøè (2.3), (2.6).Óêàçàííûé
àêò ìîæíî äîêàçàòü è äðóãèì ìåòîäîì, èñïîëüçóÿ ñîîáðàæåíèÿ, îñíîâàí-
íûå íà óíäàìåíòàëüíîì çàêîíå ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Ê ýòîìó âîïðîñó ìû
âåðí¼ìñÿ â ï. 2.3.
   Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ñ ðîñòîì ãëàäêîñòè íà÷àëüíîé óíêöèè ϕ â (2.6) ãëàä-
êîñòü ðåøåíèÿ u òàêæå ðàñòåò. Åñëè, â ÷àñòíîñòè, ϕ íåïðåðûâíî äèåðåí-
öèðóåìà â [α, β], òî è ðåøåíèå u ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìîé
óíêöèåé â Ï[α, β], ò. å. êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.3) (ñîãëàñ-
íî îïðåäåëåíèþ èç ï. 1.5). Ñ èñïîëüçîâàíèåì îïðåäåëåíèÿ ïðîñòðàíñòâà
C m(Ω), ââåäåííîãî â ï. 1.3, ñîîòâåòñòâóþùèé àêò êðàòêî ìîæíî çàïèñàòü
òàê: åñëè ϕ ∈ C m[α, β], m = 1, 2, ..., òî u ∈ C m (Π[α, β]).
   Åñëè, áîëåå òîãî, ϕ ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé óíêöèåé, òî è ðåøåíèå
çàäà÷è Êîøè (2.3), (2.6) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé óíêöèåé ïî êðàéíåé
ìåðå â îêðåñòíîñòè ó÷àñòêà [α, β]. Ïîñêîëüêó óðàâíåíèå (2.3) ÿâëÿåòñÿ
ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì ñèñòåìû, íîðìàëüíîé îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé t
(êàê è x), òî óêàçàííûé àêò ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òåîðåìû Êîâàëåâñêîé
(ñì. ï. 1.4). Âïðî÷åì, ýòî âûòåêàåò è èç ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèÿ â âèäå
u(x, t) = ϕ(x − t).
    êà÷åñòâå îòðåçêà, íà êîòîðîì çàäàþòñÿ äàííûå Êîøè, ìîæíî âûáðàòü
è îòðåçîê [c, d] îñè t (ñì. ðèñ. 2.1á), çàäàâàÿ íà÷àëüíûå äàííûå â âèäå

                         u(0, t) = g(t), t ∈ [c, d],                 (2.8)

ãäå g  íåêîòîðàÿ äèåðåíöèðóåìàÿ óíêöèÿ. Ïðîñòîé àíàëèç ïîêàçûâà-
åò, ÷òî ðåøåíèå u çàäà÷è (2.3), (2.8) â ïîëîñå Π[c, d], îáðàçîâàííîé âñåìè
õàðàêòåðèñòèêàìè óðàâíåíèÿ (2.3), ïåðåñåêàþùèìè èíòåðâàë [c, d], ñóùå-
ñòâóåò, åäèíñòâåííî è îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé: u(x, t) = g(t − x).
   Áîëåå òîãî, äàííûå Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (2.3) ìîæíî çàäàâàòü è íà ïðî-
èçâîëüíîé ãëàäêîé êðèâîé Γ â ïëîñêîñòè (x, t) ïðè óñëîâèè, ÷òî ñ êàæäîé
èç õàðàêòåðèñòèê êðèâàÿ Γ ïåðåñåêàåòñÿ íå áîëåå, ÷åì â îäíîé òî÷êå (ñì.
ðèñ. 2.2à).
   Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.3), óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèþ

                                 u|Γ = ϕ,                            (2.9)

äîñòàòî÷íî ïîäîáðàòü íóæíûé âèä ãëàäêîé óíêöèè Φ â (2.5). Ýòî ìîæ-
íî ñäåëàòü, íàïðèìåð, ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Γ çàäàíà
ïàðàìåòðè÷åñêè â âèäå x = xs ≡ ξ(s), t = ts ≡ η(s), s ∈ [s1 , s2 ], ïðè-
÷¼ì óíêöèÿ ϕ çàâèñèò îò ïàðàìåòðà s êðèâîé Γ. Ïðîâåäåì ÷åðåç êàæäóþ

                                    113

Страницы