Классические методы математической физики - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

t
u
x t u
t u
du/dt t
du
dt
=
∂u
∂t
+
∂u
∂x
dx
dt
=
∂u
∂t
+
∂u
∂x
.
u
du/dt = 0 u
u(x, t) u
(x, t) c x−t = c
(x, t) u
u(x, t) = Φ(x − t).
Φ
∂u
∂x
= Φ
′
(x − t),
∂u
∂t
= −Φ
′
(x − t).
Φ
Φ
             (à)                                         (á)
                                 èñ. 2.1


(2.4). Â òî æå âðåìÿ íà t ìîæíî ñìîòðåòü êàê íà ïàðàìåòð, êîòîðûé èçìå-
íÿåòñÿ âäîëü õàðàêòåðèñòèê äàííîãî ñåìåéñòâà.
   àññìîòðèì òåïåðü ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ u, çàâèñÿùóþ îò äâóõ ïåðå-
ìåííûõ x è t. Âäîëü êàæäîé õàðàêòåðèñòèêè óíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé
óíêöèåé ïàðàìåòðà t. Ïðåäïîëàãàÿ óíêöèþ u äèåðåíöèðóåìîé, îáî-
çíà÷èì ÷åðåç du/dt åå ïðîèçâîäíóþ ïî ïàðàìåòðó t. Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî
äèåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé óíêöèè, èìååì
                      du ∂u ∂u dx ∂u ∂u
                         =   +      =   +   .
                      dt   ∂t ∂x dt   ∂t ∂x
Åñëè òåïåðü ïðåäïîëîæèòü, ÷òî óíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ
(2.3), òî èç ýòîé îðìóëû ñëåäóåò, ÷òî âäîëü ëþáîé õàðàêòåðèñòèêè âû-
ïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå du/dt = 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî u ïîñòîÿííà âäîëü
êàæäîé èç ýòèõ ïðÿìûõ. Òàêèì îáðàçîì, çíà÷åíèå u(x, t) ðåøåíèÿ u â òî÷êå
(x, t) çàâèñèò ëèøü îò íîìåðà c òîé õàðàêòåðèñòèêè x−t = c, íà êîòîðîé
ëåæèò òî÷êà (x, t). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðåøåíèå u îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
                            u(x, t) = Φ(x − t).                      (2.5)
Çäåñü Φ  íåêîòîðàÿ äèåðåíöèðóåìàÿ óíêöèÿ îäíîé ïåðåìåííîé. Â
ñïðàâåäëèâîñòè ýòîãî àêòà ìîæíî óáåäèòüñÿ è íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåð-
êîé, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè, âûòåêàþùèìè èç
(2.5)
                    ∂u               ∂u
                       = Φ′(x − t),      = −Φ′ (x − t).
                    ∂x               ∂t
   Èòàê, äëÿ ëþáîé äèåðåíöèðóåìîé óíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé Φ îð-
ìóëà (2.5) äàåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.3). Ôàêòè÷åñêè (2.5) ïðåäñòàâëÿåò ñî-
áîé öåëîå ñåìåéñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (2.3), çàâèñÿùåå îò îäíîãî óíêöè-
îíàëüíîãî ïàðàìåòðà. îëü åãî êàê ðàç èãðàåò óíêöèÿ Φ. Ñ ó÷åòîì ýòîãî

                                    111

Страницы