Классические методы математической физики - 108 стр.

çàäà÷è ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî, òî èç òåîðåìû Êîâàëåâñêîé íå âûòåêà-
åò, ÷òî äàííîå ðåøåíèå íåïðåðûâíî çàâèñèò îò èñõîäíûõ äàííûõ. Áîëåå
òîãî, ïðèâåäåííûé â ï. 1.3 ïðèìåð çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà
ïîêàçûâàåò, ÷òî ðåøåíèå ìîæåò áûòü íåóñòîé÷èâûì.
   Ñ ó÷åòîì ïðèâåäåííûõ àêòîâ ïðè ðàññìîòðåíèè êîíêðåòíûõ çàäà÷ ìà-
òåìàòè÷åñêîé èçèêè îáû÷íî ïðèõîäèòñÿ îòêàçûâàòüñÿ îò íàõîæäåíèÿ àíà-
ëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ è çàíèìàòüñÿ ïîèñêîì ðåøåíèÿ, îáëàäàþùåãî êîíå÷-
íîé ãëàäêîñòüþ. Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè â òåîðèè óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ
ïðîèçâîäíûõ íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåíû äâà òèïà ðåøåíèé: êëàññè÷åñêîå ðå-
øåíèå, îñíîâàííîå íà êëàññè÷åñêîé ïîñòàíîâêå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è, è
îáîáùåííîå ðåøåíèå, îñíîâàííîå íà å¼ îáîáùåííîé ïîñòàíîâêå.
   1.5. Êëàññè÷åñêîå è îáîáùåííîå ðåøåíèÿ. Íàïîìíèì, ÷òî ðåøå-
íèåì óðàâíåíèÿ n-ãî ïîðÿäêà (1.1) â îáëàñòè Ω ìû íàçâàëè òàêóþ óíê-
öèþ u : Ω → R, êîòîðàÿ îáðàùàåò óðàâíåíèå (1.1) â òîæäåñòâî â îáëàñòè
Ω. Ýòî îïðåäåëåíèå àâòîìàòè÷åñêè ïðåäïîëàãàåò, ÷òî óíêöèÿ u îáëàäàåò
îïðåäåëåííîé ãëàäêîñòüþ, à èìåííî, ÷òî â êàæäîé òî÷êå x ∈ Ω ñóùåñòâóþò
âñå å¼ ïðîèçâîäíûå, âõîäÿùèå â ýòî óðàâíåíèå. Åñëè äîïîëíèòåëüíî ïðåä-
ïîëîæèòü, ÷òî óêàçàííûå ïðîèçâîäíûå íåïðåðûâíû âñþäó â Ω, òî òàêóþ
óíêöèþ ïðèíÿòî íàçûâàòü êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.1).
   Çàìåòèì, ÷òî óêàçàííîå îïðåäåëåíèå íå íàêëàäûâàåò êàêèõ-ëèáî îãðàíè-
÷åíèé íà ïîâåäåíèå ðåøåíèé íà ãðàíèöå îáëàñòè Ω. Îäíàêî, åñëè óðàâíåíèå
(1.1) ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðè îïðåäåëåííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ, òî â îïðå-
äåëåíèå êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé êðàåâîé çàäà÷è ñëåäóåò
äîáàâèòü óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè âïëîòü äî ãðàíèöû òåõ ïðîèçâîäíûõ îò
óíêöèè u, êîòîðûå âõîäÿò â êðàåâûå óñëîâèÿ. Òàê, íàïðèìåð, êëàññè÷å-
ñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà â îãðàíè÷åííîé
îáëàñòè Ω
                       ∆u = −f â Ω, u = g íà Γ                    (1.32)
ïðèíÿòî íàçûâàòü óíêöèþ u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω), óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâ-
íåíèþ Ïóàññîíà â (1.32) â êàæäîé òî÷êå x ∈ Ω è ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ â
(1.32) â êàæäîé òî÷êå x ∈ Γ. Îïðåäåëåíèÿ êëàññè÷åñêèõ ðåøåíèé äðóãèõ
êðàåâûõ çàäà÷ áóäóò ââåäåíû â ñëåäóþùèõ ãëàâàõ, ïîñâÿùåííûõ ñòðîãîìó
ìàòåìàòè÷åñêîìó èññëåäîâàíèþ êîíêðåòíûõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé èçè-
êè.
   Çäåñü æå îòìåòèì, ÷òî êëàññè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è ïðåäïîëàãàåò,
÷òî êîýèöèåíòû è ïðàâàÿ ÷àñòü ðàññìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ òàêæå îá-
ëàäàþò îïðåäåëåííîé ãëàäêîñòüþ, ñêàæåì, íåïðåðûâíû â Ω. Âìåñòå ñ òåì
íà ïðàêòèêå ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàòü ñèòóàöèè, êîãäà, íàïðèìåð,
ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùàÿ ïëîòíîñòü âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ,
èìååò îïðåäåëåííûå îñîáåííîñòè â íåêîòîðûõ èçîëèðîâàííûõ òî÷êàõ èëè
äàæå ïîäîáëàñòÿõ îáëàñòè Ω.  ýòèõ ñëó÷àÿõ êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ðàñ-
ñìàòðèâàåìîé çàäà÷è ìîæåò íå ñóùåñòâîâàòü. Ïîýòîìó ïðèõîäèòñÿ îòêàçû-

                                  108