Классические методы математической физики - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

B
r
(x
0
) u
B
r
(x
0
)
D
α
x = x
0
c
0
= f(x
0
), c
α
= D
α
f(x
0
)
f
Ω f
Ω f
x
0
∈ Ω f
x
0
∈ Ω f ≡ 0 Ω
x
0
∈ Ω
N N
u
1
, u
2
, ..., u
N
∂
k
i
u
i
∂t
k
i
= Φ
i
(x, t, u
1
, u
2
, ..., u
N
, ..., D
α
0
t
D
α
x
u
j
, ...), i, j = 1, 2, ..., N
t
Φ
i
k
i
t
k
i
− 1 α
0
+ α
1
+ ... + α
n
≤ k
i
, α
0
≤ k
i
− 1 D
α
0
t
D
α
x
u
j
D
α
0
t
D
α
x
u
j
(x) =
∂
α
0
+|α|
u
j
(x)
∂t
α
0
∂x
α
1
1
∂x
α
2
2
···∂x
α
n
n
.
x
i
t
t
(u
1
, u
2
, ..., u
N
)
t = t
0
∂
k
u
i
∂t
k
t=t
0
= ϕ
ik
(x), k = 0, 1, ..., k
i
− 1, i = 1, 2, ..., N.
ϕ
ik
Ω ⊂ R
n
ϕ
ik
x
0
Φ
i
(x
0
, t
0
, ..., D
α
ϕ
jα
0
(x
0
), ...)
ìîæíî ïî÷ëåííî äèåðåíöèðîâàòü ñêîëü óãîäíî ðàç, ïðè÷åì ðÿä, ïî-
ëó÷åííûé äèåðåíöèðîâàíèåì èñõîäíîãî ðÿäà, áóäåò òàêæå ðàâíîìåðíî
ñõîäèòüñÿ â Br (x0 ). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñóììà u ðÿäà (1.28) áåñêîíå÷íî
äèåðåíöèðóåìà â Br (x0 ). Ïðèìåíÿÿ äàëåå ê (1.28) îïåðàòîð äèåðåí-
öèðîâàíèÿ Dα è ïîëàãàÿ â ïîëó÷åííûõ ñîîòíîøåíèÿõ x = x0 , ïîëó÷èì
c0 = f (x0), cα = Dα f (x0). Ýòè ñîîòíîøåíèÿ è îçíà÷àþò, ÷òî ðÿä (1.28)
ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà äëÿ ñóììû f . Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, âûòåêàåò, ÷òî
àíàëèòè÷åñêàÿ â îáëàñòè Ω óíêöèÿ f îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ âî âñåé
îáëàñòè Ω çíà÷åíèÿìè f è âñåõ åå ïðîèçâîäíûõ â èêñèðîâàííîé òî÷êå
x0 ∈ Ω.  ÷àñòíîñòè, èç îáðàùåíèÿ â íóëü ñàìîé óíêöèè f è âñåõ åå
ïðîèçâîäíûõ â òî÷êå x0 ∈ Ω âûòåêàåò, ÷òî f ≡ 0 â Ω. Ýòî óòâåðæäåíèå
ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå òàê íàçûâàåìîé òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè àíàëè-
òè÷åñêèõ óíêöèé.
   Äðóãèì âàæíûì ñâîéñòâîì àíàëèòè÷åñêîé óíêöèè ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî
èç àíàëèòè÷íîñòè â òî÷êå x0 ∈ Ω âûòåêàåò àíàëèòè÷íîñòü åå â íåêîòîðîé
îêðåñòíîñòè. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî àêòà ìîæíî íàéòè â [34, ñ. 20℄.
   2) Ñèñòåìà N äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ N íåèçâåñòíûìè óíê-
öèÿìè u1 , u2 , ..., uN âèäà
    ∂ ki ui
        k
            = Φi(x, t, u1, u2, ..., uN , ..., Dtα0 Dxα uj , ...), i, j = 1, 2, ..., N   (1.29)
    ∂t i
íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé t, åñëè ïðàâûå ÷àñòè
Φi íå ñîäåðæàò ïðîèçâîäíûõ ïîðÿäêà âûøå ki è ïðîèçâîäíûõ ïî t ïîðÿäêà
âûøå ki − 1, òàê ÷òî α0 + α1 + ... + αn ≤ ki , α0 ≤ ki − 1. Çäåñü Dtα0 Dxα uj
îáîçíà÷àåò ñëåäóþùóþ ïðîèçâîäíóþ:

                                                    ∂ α0 +|α| uj (x)
                          Dtα0 Dxα uj (x) =                                  .
                                              ∂tα0 ∂xα1 1 ∂xα2 2 · · · ∂xαnn
   Íàïðèìåð, âîëíîâîå óðàâíåíèå, óðàâíåíèå Ëàïëàñà è óðàâíåíèå òåï-
ëîïðîâîäíîñòè íîðìàëüíû îòíîñèòåëüíî êàæäîé ïåðåìåííîé xi ; âîëíîâîå
óðàâíåíèå, êðîìå òîãî, íîðìàëüíî îòíîñèòåëüíî t.
   Äëÿ íîðìàëüíîé îòíîñèòåëüíî t ñèñòåìû óðàâíåíèé (1.29) ïîñòàâèì ñëå-
äóþùóþ çàäà÷ó Êîøè: íàéòè ðåøåíèå (u1 , u2 , ..., uN ) ýòîé ñèñòåìû, óäîâëå-
òâîðÿþùåå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì ïðè t = t0 :
        ∂ k ui
                        = ϕik (x), k = 0, 1, ..., ki − 1, i = 1, 2, ..., N.             (1.30)
        ∂tk      t=t0

Çäåñü ϕik  çàäàííûå óíêöèè â íåêîòîðîé îáëàñòè Ω ⊂ Rn .
  Òåîðåìà Êîâàëåâñêîé. [11, ñ. 79℄ Åñëè âñå óíêöèè ϕik â (1.30) àíà-
ëèòè÷íû â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , è âñå óíêöèè Φi â (1.29)
àíàëèòè÷íû â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (x0 , t0 , ..., Dαϕjα0 (x0 ), ...),

                                                106

Страницы