Классические методы математической физики - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

˜a
ij
(x) x
0
˜a
ij
(x
0
) =
±1, i = j ≤ m,
0,
i 6= j, i = j > m.
u
x
0
x
0
∈ Ω
x
0
= (x
0
1
, ..., x
0
n
) x = x
0
˜a
ii
(x
0
) i = 1, ..., n
m = n x
0
˜a
ii
(x
0
)
m = n
x
0
˜a
ii
(x
0
)
m = n
x
0
˜a
ii
(x
0
)
m < n
x
0
˜a
ii
(x
0
) ˜a
nn
(x
0
)
∂u/∂ξ
n
x
0
x
0
x
0
x
0
Çäåñü êîýèöèåíòû ãij (x) òàêîâû, ÷òî â òî÷êå x0 âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíî-
øåíèÿ
                          ±1, åñëè i = j ≤ m,
                        
            ãij (x0) =
                          0, åñëè i 6= j, èëè åñëè i = j > m.
Ìû âûïèñàëè òîëüêî ÷ëåíû ñî ñòàðøèìè ïðîèçâîäíûìè îò óíêöèè u.
Âèä (1.16) óðàâíåíèÿ (1.11) íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêèì âèäîì â òî÷êå x0 .
   Èòàê, äëÿ êàæäîé òî÷êè x0 ∈ Ω ìîæíî óêàçàòü òàêîå íåâûðîæäåííîå
ïðåîáðàçîâàíèå (1.15) íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, êîòîðîå ïðèâîäèò óðàâíå-
íèå (1.11) ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó â ýòîé òî÷êå. Èìåííî íà ýòîì ñâîéñòâå
îñíîâàíà êëàññèèêàöèÿ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà. Ââåä¼ì ñëåäóþùåå
îïðåäåëåíèå.
   Îïðåäåëåíèå 1.1.          Óðàâíåíèå (1.11) íàçûâàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèì â
òî÷êå x0 = (x1, ..., xn), åñëè â óðàâíåíèè (1.16) ïðè x = x0 âñå êîýè-
                0      0

öèåíòû ãii(x0 ), i = 1, ..., n, îòëè÷íû îò íóëÿ è èìåþò îäèí çíàê, ïðè-
÷åì m = n. Óðàâíåíèå (1.11) íàçûâàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèì â òî÷êå x0 ,
åñëè â (1.16) âñå ãii (x0 ) èìåþò îäèí è òîò æå çíàê, çà èñêëþ÷åíèåì
îäíîãî, êîòîðûé èìååò ïðîòèâîïîëîæíûé çíàê, ïðè÷åì m = n. Óðàâíå-
íèå (1.11) íàçûâàåòñÿ óëüòðàãèïåðáîëè÷åñêèì â òî÷êå x0 , åñëè â (1.16)
èìååòñÿ áîëüøå îäíîãî ïîëîæèòåëüíîãî êîýèöèåíòà ãii(x0 ) è áîëüøå
îäíîãî îòðèöàòåëüíîãî, ïðè÷åì m = n. Óðàâíåíèå (1.11) íàçûâàåòñÿ ïà-
ðàáîëè÷åñêèì â øèðîêîì ñìûñëå â òî÷êå x0 , åñëè ñðåäè ãii(x0 ) èìåþòñÿ
ðàâíûå íóëþ, ò. å. åñëè m < n. Óðàâíåíèå (1.11) íàçûâàåòñÿ ïàðàáîëè÷å-
ñêèì â óçêîì ñìûñëå èëè ïðîñòî ïàðàáîëè÷åñêèì â òî÷êå x0 , åñëè òîëüêî
îäèí èç êîýèöèåíòîâ ãii (x0), ïóñòü ýòî áóäåò ãnn (x0), ðàâåí íóëþ, à
äðóãèå èìåþò îäèíàêîâûå çíàêè, ïðè÷åì êîýèöèåíò ïðè ∂u/∂ξn îòëè-
÷åí îò íóëÿ.
    îñíîâó îïðåäåëåíèÿ 1.1 âçÿòû ñâîéñòâà â òî÷êå x0 êîýèöèåíòîâ
óðàâíåíèÿ (1.16), ïîëó÷åííîãî ïðåîáðàçîâàíèåì èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (1.11)
ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé çàìåíû ïåðåìåííûõ. Ìîæíî äàòü ýêâèâàëåíòíîå îïðå-
äåëåíèå, îñíîâûâàÿñü íà ñâîéñòâàõ êâàäðàòè÷íîé îðìû (1.12). Îãðàíè-
÷èâøèñü ðàññìîòðåíèåì ëèøü ÷èñòî ýëëèïòè÷åñêèõ, ãèïåðáîëè÷åñêèõ è ïà-
ðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ïðèâåäåì ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå.
   Îïðåäåëåíèå 1.1à. Óðàâíåíèå (1.11) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ýëëèï-
òè÷åñêîãî òèïà â òî÷êå x0 , åñëè â ýòîé òî÷êå êâàäðàòè÷íàÿ îðìà (1.12)
ïîëîæèòåëüíî èëè îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà. Óðàâíåíèå (1.11) íàçûâà-
åòñÿ óðàâíåíèåì ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà â òî÷êå x0 , åñëè â ýòîé òî÷êå
êâàäðàòè÷íàÿ îðìà (1.12) ïðè ïðèâåäåíèè åå ê ñóììå êâàäðàòîâ èìå-
åò âñå êîýèöèåíòû, êðîìå îäíîãî, îïðåäåëåííîãî çíàêà, à îñòàâøèéñÿ
îäèí êîýèöèåíò-ïðîòèâîïîëîæíîãî çíàêà. Óðàâíåíèå (1.11) íàçûâàåò-
ñÿ ïàðàáîëè÷åñêèì â óçêîì ñìûñëå èëè ïðîñòî óðàâíåíèåì ïàðàáîëè÷åñêî-
ãî òèïà â òî÷êå x0 , åñëè â ýòîé òî÷êå êâàäðàòè÷íàÿ îðìà (1.12) ïðè
ïðèâåäåíèè åå ê ñóììå êâàäðàòîâ èìååò ëèøü îäèí êîýèöèåíò, ðàâíûé

                                   98

Страницы