Классические методы математической физики - 95 стр.

æèäêîñòè è ðÿä äðóãèõ ñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ. Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîä-
íîñòè
                            ∂u
                                 = a2 ∆u + f                      (1.6)
                            ∂t
ìîäåëèðóåò íåñòàöèîíàðíûå ïðîöåññû ïåðåíîñà òåïëà è äèóçèè âåùå-
ñòâà, äèóçèþ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â ýëåêòðîïðîâîäÿùåé ñðåäå è ò. ä.
Âîëíîâîå óðàâíåíèå
                            ∂ 2u
                               2
                                 = c2 ∆u + f                      (1.7)
                            ∂t
ìîäåëèðóåò ðàñïðîñòðàíåíèå â ïðîñòðàíñòâå çâóêîâûõ è ýëåêòðîìàãíèòíûõ
âîëí, ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ ñòðóíû è ìåìáðàíû, ïðîäîëüíûå êîëåáàíèÿ â
îäíîðîäíîì ñòåðæíå, ñâîáîäíûå ýëåêòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ â ýëåêòðè÷åñêîé
ëèíèè áåç èñêàæåíèé è ò. ä. Ìû òàêæå âûâåëè â ãë. 1 óðàâíåíèå åëüì-
ãîëüöà
                           ∆u + k 2u = −f,                        (1.8)
ìîäåëèðóþùåå ãàðìîíè÷åñêèå âîëíîâûå ïðîöåññû. Îäíàêî, êàê áóäåò äàëü-
øå ïîêàçàíî, ñâîéñòâà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ åëüìãîëüöà áëèçêè ê ñâîéñòâàì
ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà, ïîñêîëüêó îáà óðàâíåíèÿ îòëè÷àþòñÿ ëèøü
ìëàäøèìè ÷ëåíàìè, èìåÿ îäíó è òó æå ãëàâíóþ ÷àñòü ∆u.
   Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî èìåííî ýòè òðè óðàâíåíèÿ (1.5)(1.7) îïðåäåëÿþò îñ-
íîâíûå òèïû äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòî-
ðîãî ïîðÿäêà (ñì. ï. 1.2.). Ïîýòîìó óðàâíåíèÿ (1.5)(1.7) ÷àñòî íàçûâàþò
îñíîâíûìè óðàâíåíèÿìè ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè. Ñòðîãîå ìàòåìàòè÷å-
ñêîå èçó÷åíèå óêàçàííûõ óðàâíåíèé ïîçâîëèò çàëîæèòü, ñ îäíîé ñòîðîíû,
îñíîâû òåîðèè óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè âòîðîãî ïîðÿäêà. Ñ
äðóãîé ñòîðîíû, ýòî ïîçâîëèò èçó÷èòü ñâîéñòâà øèðîêîãî êëàññà èçè÷å-
ñêèõ ïðîöåññîâ è ÿâëåíèé, îïèñûâàåìûõ óêàçàííûìè óðàâíåíèÿìè.
   Ïîä÷åðêíåì, ÷òî êàæäîå èç óðàâíåíèé (1.5)(1.8) èìååò áåñ÷èñëåííîå
ìíîæåñòâî ðåøåíèé. Ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíîé èçè÷åñêîé çàäà÷è íåîáõî-
äèìî èç âñåõ ýòèõ ðåøåíèé âûáðàòü òî, êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò íåêîòîðûì
äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèÿì, âûòåêàþùèì èç åå èçè÷åñêîãî ñìûñëà. Êàê
ñëåäóåò èç ãë. 1, òàêèìè äîïîëíèòåëüíûìè óñëîâèÿìè ÷àùå âñåãî ÿâëÿþòñÿ
íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, îòíîñÿùèåñÿ ê ìîìåíòó âðåìåíè, ñ êîòîðîãî íà÷èíàåò-
ñÿ èçó÷åíèå äàííîãî èçè÷åñêîãî ïðîöåññà èëè ÿâëåíèÿ, è/èëè ãðàíè÷íûå
óñëîâèÿ, ò. å. óñëîâèÿ, çàäàííûå íà ãðàíèöå ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè. Òà-
êèì îáðàçîì, çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè ñîñòîÿò â îòûñêàíèè ðå-
øåíèé óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íà÷àëüíûì
è/èëè ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì.
   Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (1.6) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì íåñòàöèîíàð-
íîãî óðàâíåíèÿ êîíâåêöèè-äèóçèè-ðåàêöèè
                 ∂u
                    − div(ηgradu) + a · gradu + γu = f             (1.9)
                 ∂t
                                   95