Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 191 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

λ A
1/λ A
A X
X = C[a, b] K ∈ C([a, b] × [a, b])
X = L
2
[a, b] K ∈ L
2
((a, b) × (a, b))
X
(ϕ, ψ) =
Z
b
a
ϕ(x)ψ(x)dx.
A
∗
: X → X
A : X → X
(Aϕ, ψ) = (ϕ, A
∗
ψ) ∀ϕ, ψ ∈ X.
A
∗
A
[A
∗
ψ](y) =
Z
b
a
K(x, y)ψ(x)dx.
ϕ − λAϕ = f,
ψ − λA
∗
ψ = f
∗
,
ϕ − λAϕ = 0,
ψ − λA
∗
ψ = 0,
A
λ
m > 0
ϕ
1
, ϕ
2
, ..., ϕ
m
ψ
1
, ψ
2
, ..., ψ
m
f
f
∗
(f, ψ
i
) =
Z
b
a
f(x)ψ
i
(x)dx = 0,
òî ÷èñëî λ íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ÷èñëîì îïåðàòîðà A, à îòâå-
÷àþùåå åìó ÷èñëî 1/λ íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì îïåðàòîðà A.
   Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îïåðàòîð A äåéñòâóåò â íåêîòîðîì ïðîñòðàíñòâå X .
Îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò äâà ñëó÷àÿ:
   1. X = C[a, b]. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî K ∈ C([a, b] × [a, b]).
   2. X = L2 [a, b]. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî K ∈ L2 ((a, b) × (a, b)).
 îáîèõ ñëó÷àÿõ â X ââîäèòñÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ïî îðìóëå
                                   Z b
                          (ϕ, ψ) =     ϕ(x)ψ(x)dx.
                                    a

Îïåðàòîð A∗ : X → X íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì îïåðàòîðîì ê îïåðàòîðó
A : X → X , åñëè
                  (Aϕ, ψ) = (ϕ, A∗ψ) ∀ϕ, ψ ∈ X.              (5.9)
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîð A∗ , ñîïðÿæåííûé ê îïåðàòîðó A â (5.5),
îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
                                Z b
                       ∗
                     [A ψ](y) =     K(x, y)ψ(x)dx.              (5.10)
                                    a

  àññìîòðèì äàëåå äâà íåîäíîðîäíûõ óðàâíåíèÿ
                              ϕ − λAϕ = f,                       (5.11)
                             ψ − λA∗ ψ = f ∗,                    (5.12)
è äâà îäíîðîäíûõ óðàâíåíèÿ
                              ϕ − λAϕ = 0,                       (5.13)
                             ψ − λA∗ψ = 0,                       (5.14)
ãäå îïåðàòîð A îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé (5.5).
   Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå òåîðåìû, íàçûâàåìûå òåîðåìàìè Ôðåäãîëüìà.
   Òåîðåìà 5.1. Îäíîðîäíîå óðàâíåíèå (5.13) è ñîïðÿæåííîå ñ íèì óðàâ-
íåíèå (5.14) ïðè èêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà λ èìåþò ëèáî òðè-
âèàëüíîå ðåøåíèå, ëèáî îäèíàêîâîå êîíå÷íîå ÷èñëî m > 0 ëèíåéíî íåçà-
âèñèìûõ ðåøåíèé ϕ1 , ϕ2, ..., ϕm è ψ1 , ψ2 , ..., ψm.
   Òåîðåìà 5.2. Íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå (5.11) (ëèáî (5.12)) ðàçðåøèìî,
ò. å. èìååò ðåøåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ïðàâàÿ ÷àñòü f
(ëèáî f ∗ ) îðòîãîíàëüíà ïîëíîé ñèñòåìå ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé
ñîïðÿæåííîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (5.14) (ëèáî (5.13)); ò. å. âûïîëíÿ-
þòñÿ ñîîòíîøåíèÿ
                                 Z b
                       (f, ψi) =     f (x)ψi(x)dx = 0,
                                a

                                        191

Страницы