Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 190 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
α(x)ϕ(x) =
Z
b
a
K(x, y) ϕ(y)dy + f(x), x ∈ [a, b],
α f K(·, ·) ϕ
K : [a, b] ×[a, b] → R ( C)
f
α(x) ≡ 1
ϕ(x) =
Z
b
a
K(x, y) ϕ(y)dy + f (x).
f = 0
α = 0
Z
b
a
K(x, y) ϕ(y)dy = −f(x),
A
[Aϕ](x) =
Z
b
a
K(x, y) ϕ(y)dy.
ϕ(x) − [Aϕ](x) = f.
λ
ϕ(x) − λ[Aϕ](x) = f.
λ λ ϕ
ϕ(x) − λ[Aϕ](x) = 0,
     Ÿ5. Ýëåìåíòû òåîðèè èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé

   Èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèåì ïðèíÿòî íàçûâàòü òàêîå óðàâíåíèå, êîòîðîå
ñîäåðæèò èñêîìóþ óíêöèþ ïîä çíàêîì èíòåãðàëà.  ÷àñòíîñòè, ñëåäóþ-
ùåå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèåì îòíîñèòåëüíî óíêöèè
ϕ:                      Z         b
             α(x)ϕ(x) =               K(x, y)ϕ(y)dy + f (x), x ∈ [a, b],   (5.1)
                              a
ãäå α, f è K(·, ·)  èçâåñòíûå óíêöèè, à ϕ  íåèçâåñòíàÿ óíêöèÿ. Ôóíê-
öèÿ
                       K : [a, b] × [a, b] → R (ëèáî C)             (5.2)
íàçûâàåòñÿ ÿäðîì èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (5.1), à óíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ
åãî ïðàâîé ÷àñòüþ. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî óðàâíåíèå (5.1) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì.
   Ïðè α(x) ≡ 1 óðàâíåíèå (5.1) ïðèíèìàåò âèä
                           Z b
                   ϕ(x) =      K(x, y)ϕ(y)dy + f (x).             (5.3)
                                       a

Óðàâíåíèÿ âèäà (5.3) íàçûâàþòñÿ ëèíåéíûìè èíòåãðàëüíûìè óðàâíåíè-
ÿìè Ôðåäãîëüìà 2-ãî ðîäà â ÷åñòü øâåäñêîãî ìàòåìàòèêà E.I. Fredholm,
êîòîðûé âïåðâûå èõ èññëåäîâàë â íà÷àëå 20-ãî âåêà. Åñëè f = 0, òî óðàâ-
íåíèå (5.1) íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì.  ñëó÷àå, êîãäà α = 0, (5.1) îáðàùàåòñÿ
â óðàâíåíèå
                        Z b
                            K(x, y)ϕ(y)dy = −f (x),                   (5.4)
                          a
íàçûâàåìîå ëèíåéíûì èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèåì 1-ãî ðîäà.
   Ñ êàæäûì èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèåì ìîæíî ñâÿçàòü èíòåãðàëüíûé îïå-
ðàòîð A, äåéñòâóþùèé ïî îðìóëå
                              Z b
                    [Aϕ](x) =     K(x, y)ϕ(y)dy.              (5.5)
                                            a

 òàêîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (5.3) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

                                  ϕ(x) − [Aϕ](x) = f.                      (5.6)

Áóäåì òàêæå ðàññìàòðèâàòü óðàâíåíèå ñ ïàðàìåòðîì λ

                              ϕ(x) − λ[Aϕ](x) = f.                         (5.7)

Ñìûñë λ òàêîâ: åñëè äëÿ íåêîòîðîãî λ íàéäåòñÿ òàêàÿ óíêöèÿ ϕ, ÷òî

                              ϕ(x) − λ[Aϕ](x) = 0,                         (5.8)

                                                190

Страницы