Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 189 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

v
f
g
G
Γ
v(·, y)
C
1
(Ω)
v ∈ C(Ω) v
u v
α(x) β(x) g(x) f(x)
C
2
(Ω) ∩ C
1
(Ω)
G(x, y)
Z
Ω
G(x, y)f(y) dy,
Z
Γ
G(x, y)g(y) dσ
y
,
Z
Γ
∂G(x, y)
∂n
g(y) dσ
y
,
Z
Ω
E
3
(x, y)f(y)dx,
Z
Γ
E
3
(x, y)g(y)dσ,
Z
Γ
∂
∂n
E
3
(x, y)g(y)dσ.
êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ óíêöèè v . Íà ñàìîì äåëå ïîðî÷íîãî êðóãà íåò, òàê
êàê çíàíèå óíêöèè ðèíà ïîçâîëÿåò ðåøèòü êðàåâóþ çàäà÷ó (4.1), (4.2)
äëÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (4.1) ñ ïðîèçâîëüíîé ïðàâîé ÷àñòüþ f ïðè
ïðîèçâîëüíîé ãðàíè÷íîé óíêöèè g .  òî æå âðåìÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ ñàìîé
óíêöèè ðèíà G äîñòàòî÷íî ðåøèòü êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ îäíîðîäíîãî
óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà ëèøü ñî ñïåöèàëüíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèåì âèäà (4.15)
íà ãðàíèöå Γ.
    Çàìå÷àíèå 4.7. Òðåáîâàíèå ïðèíàäëåæíîñòè óíêöèè v(·, y) êëàññó
C (Ω) â îïðåäåëåíèè 4.1 ÿâëÿåòñÿ ñëèøêîì æåñòêèì.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ,
  1

íàïðèìåð, äëÿ çàäà÷è Äèðèõëå, îíî ìîæåò áûòü çàìåíåíî áîëåå ñëàáûì
òðåáîâàíèåì: v ∈ C(Ω). Îäíàêî ïðè òàêîì óñëîâèè íà óíêöèþ v âîçíèêàåò
íåîáõîäèìîñòü â îáîñíîâàíèè ïðèìåíèìîñòè îðìóëû ðèíà äëÿ óíêöèé
u è v , ÷òî çíà÷èòåëüíî óñëîæíÿåò âûâîä îðìóëû (4.17). Áîëåå ïîäðîáíî
ýòîò âîïðîñ äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà èçó÷àåòñÿ â [11, Ÿ 23℄.
    Çàìå÷àíèå 4.8. Ïðè âûâîäå îðìóë (4.18)(4.20) ìû äåëàëè ïðåä-
ïîëîæåíèå î ñóùåñòâîâàíèè äîñòàòî÷íî ãëàäêîãî ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþ-
ùåé êðàåâîé çàäà÷è (4.1), (4.2). Èñêîìîå æå ðåøåíèå çàäà÷è (4.1), (4.2),
äàæå åñëè îíî ñóùåñòâóåò, ìîæåò îáëàäàòü ìåíüøåé ãëàäêîñòüþ. Ýòî áó-
äåò, íàïðèìåð, â ñëó÷àå, êîãäà óíêöèè α(x), β(x), g(x) è f (x) ÿâëÿþòñÿ
ëèøü íåïðåðûâíûìè è òåì áîëåå êóñî÷íî-íåïðåðûâíûìè èëè èíòåãðèðó-
åìûìè óíêöèÿìè. Òàêèì îáðàçîì, íå äàâàÿ äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâà-
íèÿ ðåøåíèé ðàññìàòðèâàåìûõ êðàåâûõ çàäà÷, îðìóëû (4.18)(4.20) äà-
þò ëèøü èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå äîñòàòî÷íî ãëàäêèõ ðåøåíèé (êëàñ-
ñà C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω)) óêàçàííûõ êðàåâûõ çàäà÷ ïðè óñëîâèè ñóùåñòâîâàíèÿ
óíêöèè ðèíà G(x, y). Ïîýòîìó ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ êðàåâûõ çàäà÷
íåîáõîäèìî âîçíèêàåò çàäà÷à îáîñíîâàíèÿ ýòèõ îðìóë, ò. å. ïðîâåðêè òî-
ãî, ÷òî êàæäàÿ èç íèõ ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ íà ãëàäêîñòü èñõîäíûõ
äàííûõ äåéñòâèòåëüíî äàåò ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé êðàåâîé çàäà÷è. Äëÿ
èçó÷åíèÿ ýòîãî âîïðîñà íåîáõîäèìî èññëåäîâàòü ñâîéñòâà èíòåãðàëîâ
                                                ∂G(x, y)
      Z                   Z                   Z
         G(x, y)f (y)dy,     G(x, y)g(y)dσy ,            g(y)dσy , (4.21)
                                                  ∂n
    Ω                  Γ                   Γ

âõîäÿùèõ â (4.17).  ñâîþ î÷åðåäü, äëÿ èçó÷åíèÿ èíòåãðàëîâ (4.21) íåîá-
õîäèìî ïðåäâàðèòåëüíî èçó÷èòü ñâîéñòâà èíòåãðàëîâ  ãàðìîíè÷åñêèõ ïî-
òåíöèàëîâ
                                             ∂
    Z                  Z                 Z
      E3(x, y)f (y)dx,   E3(x, y)g(y)dσ,       E3 (x, y)g(y)dσ.  (4.22)
                                            ∂n
    Ω                  Γ                   Γ

Ñâîéñòâà ãàðìîíè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ áûëè èçó÷åíû ⠟ 1 è 2.


                                   189

Страницы