Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 187 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

v y Ω
C
1
(Ω)
x ∈ Ω G v
α(y)G(x, y) + β(y)
∂G(x, y)
∂n
= 0, y ∈ Γ,
α(y)v(x, y) + β(y)
∂v(x, y)
∂n
= −α(y)
1
4π|x − y|
−β(y)
∂
∂n
y
1
4π|x − y|
, y ∈ Γ.
v(x, y) y
C
2
(Ω) ∩ C
1
(Ω) x ∈ Ω
x y
v(x, y)
u C
2
(Ω)∩
C
1
(
Ω) v(x, y)
x ∈ Ω y Ω
u v(x, ·)
∆u = −f, ∆
y
v = 0 Ω ∀x ∈ Ω,
0 =
Z
Ω
v(x, y)f(y)dy +
Z
Γ
v(x, y)
∂u(y)
∂n
y
− u(y)
∂v(x, y)
∂n
y
dσ
y
.
u x ∈ Ω
∆u = −f
u(x) =
Z
Ω
G(x, y)f (y)dy +
Z
Γ
G(x, y)
∂u(y)
∂n
y
− u(y)
∂G(x, y)
∂n
y
dσ
y
.
α(x) ≡ 1 β(x) ≡ 0 v
G(x, y) = 0 y ∈ Γ ∀x ∈ Ω.
ïðè ýòîì v êàê óíêöèÿ òî÷êè y ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé â îáëàñòè Ω,
ïðèíàäëåæàùåé êëàññó C 1 (Ω);
   5) ïðè êàæäîì èêñèðîâàííîì x ∈ Ω óíêöèè G è v óäîâëåòâîðÿþò
ñîîòâåòñòâåííî ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì
                                    ∂G(x, y)
                 α(y)G(x, y) + β(y)           = 0, y ∈ Γ,            (4.14)
                                       ∂n
                   ∂v(x, y)             1             ∂      1
α(y)v(x, y) + β(y)          = −α(y)           − β(y)               , y ∈ Γ.
                     ∂n             4π|x − y|        ∂ny 4π|x − y|
                                                                     (4.15)
   Çàìå÷àíèå 4.4. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå: åñëè
ñóùåñòâóåò óíêöèÿ v(x, y), ïðèíàäëåæàùàÿ êàê óíêöèÿ òî÷êè y êëàññó
C 2(Ω) ∩ C 1(Ω) ïðè êàæäîì x ∈ Ω è óäîâëåòâîðÿþùàÿ îäíîðîäíîìó óðàâ-
íåíèþ (4.13) è êðàåâîìó óñëîâèþ (4.15), òî óíêöèÿ (4.4) ñèììåòðè÷íà
ïî x è y è ÿâëÿåòñÿ óíêöèåé ðèíà çàäà÷è (4.1), (4.2). Äëÿ äîêàçàòåëü-
ñòâà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè ïðåäûäóùèå ðàññóæäåíèÿ â
îáðàòíîì ïîðÿäêå. Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà
ñóùåñòâîâàíèÿ óíêöèè ðèíà çàäà÷è (4.1), (4.2) äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ñó-
ùåñòâîâàíèå óíêöèè v(x, y), îáëàäàþùåé óêàçàííûìè âûøå ñâîéñòâàìè.
   ×òîáû âûÿñíèòü ìàòåìàòè÷åñêèé ñìûñë ââåäåíèÿ óíêöèè ðèíà, ïðåä-
ïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò êàê ðåøåíèå u çàäà÷è (4.1), (4.2) èç êëàññà C 2 (Ω)∩
C 1(Ω), òàê è óíêöèÿ v(x, y), ÿâëÿþùàÿñÿ ïðè êàæäîì èêñèðîâàííîì
x ∈ Ω ãàðìîíè÷åñêîé óíêöèåé òî÷êè y â îáëàñòè Ω èç òîãî æå êëàññà.
Ïðèìåíèì ê óíêöèÿì u è v(x, ·) îðìóëó ðèíà (4.7). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
                    ∆u = −f, ∆y v = 0 â Ω ∀x ∈ Ω,                     (4.16)
áóäåì èìåòü
                           Z                               
                                      ∂u(y)        ∂v(x, y)
          Z
      0 = v(x, y)f (y)dy +    v(x, y)       − u(y)            dσy .
                                       ∂ny           ∂ny
             Ω                   Γ

Ñêëàäûâàÿ ýòó îðìóëó ñ îðìóëîé (4.8) äëÿ óíêöèè u ïðè x ∈ Ω,
ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü ∆u = −f , ïðèõîäèì ñ ó÷åòîì îáîçíà÷åíèÿ (4.4) ê
îðìóëå
                         Z                               
                                    ∂u(y)        ∂G(x, y)
        Z
 u(x) = G(x, y)f (y)dy +    G(x, y)       − u(y)            dσy . (4.17)
                                     ∂ny           ∂ny
         Ω                   Γ

   àññìîòðèì îòäåëüíî òðè ñëó÷àÿ, îòâå÷àþùèå ñîîòâåòñòâåííî ïåðâîé,
âòîðîé è òðåòüåé êðàåâûì çàäà÷àì äëÿ óðàâíåíèÿ (4.1).
   1. α(x) ≡ 1, β(x) ≡ 0. Ïóñòü óíêöèÿ v òàêîâà, ÷òî
                    G(x, y) = 0 ïðè y ∈ Γ ∀x ∈ Ω.

                                     187

Страницы