Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 185 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

1
4π
Z
Γ
1
|x − y|
∂u(y)
∂n
y
− u(y)
∂
∂n
y
1
|x − y|
dσ.
u v
Ω
α(x) = 1, β(x) ≡ 0 ∀x ∈ Γ; β(x) 6= 0 ∀x ∈ Γ
G
Ω×Ω
G(x, y) = G(y, x) ∀x, y ∈ Ω, x 6= y
x
1
x
2
Ω
G(x
1
, x
2
) = G(x
2
, x
1
).
S
1
S
2
ε x
1
x
2
Ω
ε
u
1
(x) = G(x, x
1
) =
1
4π|x − x
1
|
+ v(x, x
1
),
u
2
(x) = G(x, x
2
) =
1
4π|x − x
2
|
+ v(x, x
2
),
Ω
ε
= Ω\(B
ε
(x
1
) ∪ B
ε
(x
2
))
S
Γ
Ω
S
x
1
x
2
1
2
u
1
u
2
Ω
ε
Ω
ε
u
1
u
2
C
2
(Ω
ε
) ∩ C
1
(Ω
ε
)
∆u
1
= ∆u
2
= 0 Ω
Z
Γ
u
1
∂u
2
∂n
− u
2
∂u
1
∂n
dσ ≡
Z
Γ
u
1
∂u
2
∂n
+ ηu
2
−
−u
2
∂u
1
∂n
+ ηu
1

dσ,
η = α/β
Z
S
1
u
2
∂u
1
∂n
− u
1
∂u
2
∂n
dσ = −
Z
S
2
u
2
∂u
1
∂n
− u
1
∂u
2
∂n
dσ.
                    Z                                   
                1            1 ∂u(y)          ∂     1
                                      − u(y)               dσ.                (4.8)
               4π         |x − y| ∂ny        ∂ny |x − y|
                    Γ
Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî u è v îáëàäàþò íóæíîé ãëàäêîñòüþ (ñì. Ÿ 2 ãë. 6).
   Ëåììà 4.1. Ïóñòü îáëàñòü Ω óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (i) è âûïîëíÿ-
åòñÿ îäíî èç äâóõ óñëîâèé
   (ii) α(x) = 1, β(x) ≡ 0 ∀x ∈ Γ; (iii) β(x) 6= 0 ∀x ∈ Γ.
    Òîãäà óíêöèÿ ðèíà G ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé óíêöèåé ñâîèõ àðãó-
ìåíòîâ â îáëàñòè Ω×Ω, ò. å. â äîïîëíåíèå ê óñëîâèÿì 1) è 2) â îïðåäåëåíèè
4.1
   3) G(x, y) = G(y, x) ∀x, y ∈ Ω, x 6= y.
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü, íàïðèìåð, âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (iii), ò. å.
(4.1), (4.2) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðåòüþ êðàåâóþ çàäà÷ó. Îáîçíà÷èì ÷åðåç
x1 è x2 ïðîèçâîëüíûå, íî èêñèðîâàííûå òî÷êè îáëàñòè Ω è äîêàæåì, ÷òî
                             G(x1, x2) = G(x2 , x1).                          (4.9)
Ïîñòðîèì äâå ñåðû S1 è S2 ìàëîãî ðàäèóñà ε ñ öåíòðàìè â òî÷êàõ x1 è x2
è ââåäåì â Ωε óíêöèè
                                           1
                u1 (x) = G(x, x1) =               + v(x, x1),
                                       4π|x − x1|
                                           1
                u2 (x) = G(x, x2) =               + v(x, x2),
                                       4π|x − x2|
ãäå Ωε = Ω\(Bε(x1 ) ∪ Bε (x2 )). Ïðèìåíèì                                Γ
âòîðóþ îðìóëó ðèíà (4.7) ê óíêöè-                     S1        Ω
ÿì u1 è u2 â îáëàñòè Ωε. Ýòî çàêîííî, òàê                                S2
êàê â îáëàñòè Ωε óíêöèè u1 è u2 ñîãëàñ-
                                                       x1
íî îïðåäåëåíèþ 4.1 ïðèíàäëåæàò êëàññó                                    x2
C 2(Ωε) ∩ C 1(Ωε ).
   Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ∆u1 = ∆u2 = 0 â Ω, à
èíòåãðàë ïî ïîâåðõíîñòè
Z                         Z              
        ∂u2      ∂u1                ∂u2
     u1     − u2       dσ ≡      u1     + ηu2 −              èñ. 4.1.
        ∂n        ∂n                ∂n
Γ                            Γ
                                          
                                  ∂u1
                           −u2        + ηu1 dσ,
                                  ∂n
ãäå η = α/β , îáðàùàåòñÿ â íóëü â ñèëó óñëîâèÿ (4.5), ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó
        Z                           Z                  
                ∂u1      ∂u2                 ∂u1      ∂u2
             u2     − u1       dσ = −     u2     − u1       dσ.      (4.10)
                ∂n       ∂n                  ∂n       ∂n
       S1                              S2

                                       185

Страницы