Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 183 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

f Ω
u α β g Γ
g u
§2 u : R
3
→ R
u(x) = [Af](x) ≡
Z
Ω
E(x, y)f(y)dy,
E(x, y) = E
3
(x, y) = 1/(4π|x − y|)
§2 x ∈ Ω
α β g
Ω G(x, y) x ∈ Ω y ∈ Ω
y ∈ Ω
G(x, y) x ∈ Ω
Ω
G(x, y) = E(x, y) + v(x, y) ≡
1
4π|x − y|
+ v(x, y),
v(x, y) x ∈ Ω
Ω C
1
(Ω)
G(x, y)
α(x)G(x, y) + β(x)
∂G(x, y)
∂n
x
= 0, x ∈ Γ.
y ∈ Ω
Ω v
Γ
α(x)v(x, y) + β(x)
∂v(x, y)
∂n
x
= −α(x)E(x, y) −β(x)
∂E(x, y)
∂n
x
, x ∈ Γ, y ∈ Ω.
Çäåñü f  çàäàííàÿ â Ω óíêöèÿ, èìåþùàÿ ñìûñë ïëîòíîñòè îáúåìíûõ
èñòî÷íèêîâ ïîëÿ u, α, β è g  çàäàííûå íà Γ óíêöèè, ïðè÷åì, â ÷àñòíîñòè,
óíêöèÿ g èìååò ñìûñë ïëîòíîñòè ïîâåðõíîñòíûõ èñòî÷íèêîâ ïîëÿ u.
   Êàê óæå óêàçûâàëîñü â §2, îáúåìíûé ïîòåíöèàë u : R3 → R, îïðåäåëÿ-
åìûé îðìóëîé
                                     Z
                   u(x) = [Af ](x) ≡ E(x, y)f (y)dy,                (4.3)
                                       Ω

ãäå E(x, y) = E3 (x, y) = 1/(4π|x − y|), óäîâëåòâîðÿåò ïðè âûïîëíåíèè
óñëîâèé (i)(iii) èç §2 óðàâíåíèþ (4.1) â êàæäîé òî÷êå x ∈ Ω. Íî, êîíå÷íî,
ïîòåíöèàë (4.3) íå îáÿçàí óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ (4.2) õîòÿ áû ïîòîìó, ÷òî
îðìóëà (4.3) íå ñîäåðæèò èíîðìàöèè î óíêöèÿõ α, β è g .
   Â ýòîì ïàðàãðàå ïîñòàâèì ñâîåé öåëüþ òàê èçìåíèòü îðìóëó (4.3) ïó-
òåì ïðèáàâëåíèÿ ê ïðàâîé ÷àñòè íåêîòîðîé ãàðìîíè÷åñêîé óíêöèè, ÷òîáû
íîâàÿ óíêöèÿ óäîâëåòâîðÿëà íå òîëüêî óðàâíåíèþ (4.1), íî è ãðàíè÷íî-
ìó óñëîâèþ (4.2). Íà ýòîì ïóòè ïðèõîäèì ê óíäàìåíòàëüíîìó ïîíÿòèþ
óíêöèè ðèíà.
   Îïðåäåëåíèå 4.1. Ôóíêöèåé ðèíà êðàåâîé çàäà÷è (4.1), (4.2) äëÿ
îáëàñòè Ω íàçûâàåòñÿ óíêöèÿ G(x, y), îïðåäåëåííàÿ ïðè x ∈ Ω, y ∈ Ω
è óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïðè êàæäîì èêñèðîâàííîì y ∈ Ω óñëîâèÿì:
   1) G(x, y) êàê óíêöèÿ òî÷êè x ∈ Ω ÿâëÿåòñÿ óíäàìåíòàëüíûì ðå-
øåíèåì îïåðàòîðà Ëàïëàñà â îáëàñòè Ω è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäñòàâèìà
â âèäå
                                                1
             G(x, y) = E(x, y) + v(x, y) ≡            + v(x, y),      (4.4)
                                            4π|x − y|
ãäå óíêöèÿ v(x, y) êàê óíêöèÿ x ∈ Ω ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé óíêöèåé
â Ω, ïðèíàäëåæàùåé êëàññó C 1 (Ω).
   2) G(x, y) óäîâëåòâîðÿåò ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ
                                      ∂G(x, y)
                 α(x)G(x, y) + β(x)            = 0, x ∈ Γ.              (4.5)
                                        ∂nx
   Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî óíêöèÿ ðèíà ñóùåñòâóåò íå äëÿ âñÿêîé êðàå-
âîé çàäà÷è âèäà (4.1), (4.2). Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 4.1 ýòî
èìååò ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîé òî÷êè y ∈ Ω ñóùå-
ñòâóåò ãàðìîíè÷åñêàÿ â Ω óíêöèÿ v óêàçàííîãî â îïðåäåëåíèè 4.1 êëàññà,
óäîâëåòâîðÿþùàÿ íà ãðàíèöå Γ óñëîâèþ âèäà
                     ∂v(x, y)                       ∂E(x, y)
α(x)v(x, y) + β(x)            = −α(x)E(x, y) − β(x)          , x ∈ Γ, y ∈ Ω.
                       ∂nx                            ∂nx
                                                                        (4.6)


                                      183

Страницы