Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 184 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

y ∈ Ω
Γ Ω α β
Γ
G
G v y ∈ Ω
∆
x
G(x, y) = −δ(x, y) ∆
x
v(x, y) = 0
δ( x, y) δ y ∈ Ω
< ∆
x
G(x, y), ϕ >= − < δ(x, y), ϕ > ∀ϕ ∈ D(Ω)
y ∈ Ω
x ∈ Ω x ∆
G v x D(Ω)
Ω
G(x, y)
x ∈ Ω
y Ω
Γ
α ≡ 1 β ≡ 0 G Γ
Γ
1/(4π|x−y|)
y ∈ Ω
Γ
Ω
Ω R
3
Ω
Z
Ω
(v∆u − u∆v)dy =
Z
Γ
v
∂u
∂n
− u
∂v
∂n
dσ
u(x) = −
Z
Ω
1
4π|x − y|
∆u(y)dy+
Çäåñü ïðàâàÿ ÷àñòü çàâèñèò îò y ∈ Ω êàê îò ïàðàìåòðà. Ñóùåñòâîâàíèå
òàêîãî ðåøåíèÿ â ñâîþ î÷åðåäü èìååò ìåñòî ëèøü ïðè îïðåäåëåííûõ óñëî-
âèÿõ íà âèä è ãëàäêîñòü ãðàíèöû Γ îáëàñòè Ω, à òàêæå óíêöèé α è β ,
îïèñûâàþùèõ èçè÷åñêèå ñâîéñòâà ãðàíèöû Γ. Åäèíñòâåííîñòü æå óíê-
öèè ðèíà G èìååò ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îäíîðîäíàÿ êðàåâàÿ
çàäà÷à (4.1), (4.2) èìååò ñâîèì ðåøåíèåì ëèøü òîæäåñòâåííûé íóëü.
    Çàìå÷àíèå 4.1. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ñèíãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ îïåðà-
òîðà Ëàïëàñà è îïðåäåëåíèþ 4.1 óíêöèè G è v ïðè êàæäîì y ∈ Ω óäîâëå-
òâîðÿþò ñîîòâåòñòâåííî óðàâíåíèÿì ∆x G(x, y) = −δ(x, y) è ∆x v(x, y) = 0.
Çäåñü δ(x, y)  òðåõìåðíàÿ δ -óíêöèÿ Äèðàêà ñ öåíòðîì â òî÷êå y ∈ Ω.
Ïðè ýòîì ïåðâîå óðàâíåíèå âûïîëíÿåòñÿ â ñìûñëå îáîáùåííûõ óíêöèé,
ò.å.
              < ∆xG(x, y), ϕ >= − < δ(x, y), ϕ > ∀ϕ ∈ D(Ω)
ïðè êàæäîì èêñèðîâàííîì y ∈ Ω, à âòîðîå  â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå â
êàæäîé òî÷êå x ∈ Ω. Çäåñü èíäåêñ  x ó îïåðàòîðà ∆ îçíà÷àåò, ÷òî îí
ïðèìåíÿåòñÿ ê G èëè v êàê óíêöèè îò x, D(Ω) - ïðîñòðàíñòâî áåñêîíå÷íî
äèåðåíöèðóåìûõ èíèòíûõ â Ω óíêöèé (ñì. [11, Ÿ 5℄).
   Çàìå÷àíèå 4.2. Èç (4.4) è (4.5) âûòåêàåò, ÷òî ïî ñâîåìó èçè÷åñêî-
ìó ñìûñëó óíêöèÿ ðèíà G(x, y) çàäà÷è (4.1), (4.2) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
çíà÷åíèå â òî÷êå x ∈ Ω ïîòåíöèàëà ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî åäèíè÷íûì òî-
÷å÷íûì èñòî÷íèêîì, ñîñðåäîòî÷åííûì â òî÷êå y îáëàñòè Ω, îãðàíè÷åííîé
ïîâåðõíîñòüþ Γ. Ôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà ýòîé ïîâåðõíîñòè îïðåäåëÿþòñÿ òè-
ïîì ðàññìàòðèâàåìîãî ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ â (4.2).  ÷àñòíîì ñëó÷àå çàäà÷è
Äèðèõëå (α ≡ 1, β ≡ 0) ïîòåíöèàë G îáðàùàåòñÿ â íóëü íà Γ. Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî ïîâåðõíîñòü Γ ÿâëÿåòñÿ ýêâèïîòåíöèàëüíîé (çàçåìëåííîé ïðè ýëåêòðî-
ñòàòè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè). Ïðè ýòîì, åñëè ïåðâîå ñëàãàåìîå 1/(4π|x−y|)
â (4.4) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîòåíöèàë ñàìîãî òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà, ðàñïî-
ëîæåííîãî â òî÷êå y ∈ Ω, òî âòîðîå ñëàãàåìîå â (4.4) èìååò ñìûñë ïîòåí-
öèàëà ïîëÿ, îáðàçóåìîãî ïðè îòðàæåíèè ïîëÿ èñõîäíîãî èñòî÷íèêà îò
ïîâåðõíîñòè Γ.
   Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî îáëàñòü Ω óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
   (i) Ω  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â R3 , ãðàíèöà êîòîðîé ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî
÷èñëà çàìêíóòûõ êóñî÷íî-ãëàäêèõ ïîâåðõíîñòåé.
   Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ òàêîé îáëàñòè Ω ñïðàâåäëèâà âòîðàÿ îðìóëà ðèíà
                                        Z             
                                              ∂u    ∂v
                 Z
                    (v∆u − u∆v)dy =         v    −u      dσ            (4.7)
                                              ∂n    ∂n
                 Ω                    Γ

è èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ðèíà
                                  1
                            Z
                   u(x) = −             ∆u(y)dy+
                              4π|x − y|
                               Ω

                                    184

Страницы