Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 186 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

R
S
1
dσ = 4πε
2
u
2
(x
ε
)
∂u
1
(x
ε
)
∂n
− u
1
(x
ε
)
∂u
2
(x
ε
)
∂n
4πε
2
, x
ε
∈ S
1
,
x
ε
u
2
∂v(·, x
1
)/∂n
v(·, x
1
)∂u
2
/∂n
S
1
ε → 0
u
1
(x
ε
)
∂u
2
(x
ε
)
∂n
4πε
2
=
1
4πε|x
ε
− x
1
|
+ v(x
ε
, x
1
)
∂u
2
(x
ε
)
∂n
4πε
2
→ 0
ε → 0,
u
2
(x
ε
)
∂u
1
(x
ε
)
∂n
4πε
2
=
−
∂
∂r
1
4πr
|
r=ε
+
∂v(x
ε
, x
1
)
∂n
4πε
2
u
2
(x
ε
) =
=
1
4πε
2
+
∂v(x
ε
, x
1
)
∂n
u
2
(x
ε
)4πε
2
→ u
2
(x
1
) = G(x
1
, x
2
)
ε → 0.
ε → 0 G(x
1
, x
2
)
ε → 0
G(x
2
, x
1
)
x
1
x
2
G(x, y)
y x
y x
v
G v
x ∈ Ω G v
y ∈ Ω
∆
y
G(x, y) = −δ(x, y),
∆
y
v(x, y) = 0,
   àññìîòðèì ëåâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà (4.10). Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó î ñðåäíåì
è ó÷èòûâàÿ, ÷òî dσ = 4πε2 , åå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:
               R
                 S1
                                                 
                       ∂u1(xε )           ∂u2(xε)
               u2 (xε)          − u1(xε )           4πε2, xε ∈ S1 ,      (4.11)
                         ∂n                 ∂n
ãäå xε  íåêîòîðàÿ òî÷êà.  ñèëó îïðåäåëåíèÿ 4.1 óíêöèè u2 ∂v(·, x1)/∂n
è v(·, x1 )∂u2/∂n ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè è îãðàíè÷åííûìè âíóòðè ñåðû
S1 . Ïîýòîìó, ïåðåõîäÿ â (4.11) ê ïðåäåëó ïðè ε → 0, èìååì
                                     ∂u2(xε )
                            u1(xε)            4πε2 =
                                         ∂n
                                      
                 1                       ∂u2(xε)
                          + v(xε , x1)           4πε2 → 0 ïðè ε → 0,
            4πε|xε − x1 |                  ∂n
                                                           
              ∂u1(xε)     2        ∂ 1           ∂v(xε, x1)
      u2 (xε)         4πε = −             |r=ε +              4πε2 u2(xε ) =
                ∂n                 ∂r 4πr           ∂n
                          
         1      ∂v(xε, x1)
   =        2
              +              u2(xε )4πε2 → u2(x1) = G(x1 , x2) ïðè ε → 0.
       4πε         ∂n
Òåì ñàìûì ïîêàçàíî, ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü (4.10) ñòðåìèòñÿ ïðè ε → 0 ê G(x1 , x2 ).
Òî÷íî òàê æå ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü (4.10) ïðè ε → 0 ñòðåìèòñÿ
ê G(x2 , x1 ).  ñèëó ðàâåíñòâà îáîèõ ïðåäåëîâ ïîëó÷àåì (4.9). Ïîñêîëüêó
òî÷êè x1 è x2 ïðîèçâîëüíûå, òî èç (4.9) âûòåêàåò ñèììåòðè÷íîñòü óíê-
öèè G(x, y) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (iii), ò. å. â ñëó÷àå òðåòüåé êðàåâîé
çàäà÷è. Ñèììåòðè÷íîñòü óíêöèè ðèíà ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (ii), ò. å.
äëÿ ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì (ñì., íà-
ïðèìåð, [56, ñ. 341℄).
   Çàìå÷àíèå 4.3. Ñâîéñòâî ñèììåòðè÷íîñòè óíêöèè ðèíà ïðè óêà-
çàííîé â çàìå÷àíèè 4.2 åå èçè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè ìîæíî òðàêòîâàòü
êàê ìàòåìàòè÷åñêîå âûðàæåíèå èçâåñòíîãî ïðèíöèïà âçàèìíîñòè â è-
çèêå: èñòî÷íèê, ïîìåùåííûé â òî÷êó y, ïðîèçâîäèò â òî÷êå x òàêîå æå
äåéñòâèå, êàêîå ïðîèçâîäèò â òî÷êå y èñòî÷íèê, ïîìåùåííûé â òî÷êó x.
   Èç ñâîéñòâà ñèììåòðè÷íîñòè óíêöèè ðèíà è ïðåäñòàâëåíèÿ (4.4) âû-
òåêàåò ñèììåòðè÷íîñòü óíêöèè v , à òàêæå íåêîòîðûå äîïîëíèòåëüíûå
ñâîéñòâà óíêöèè G è v , èç êîòîðûõ îòìåòèì ñëåäóþùèå:
   4) ïðè êàæäîì èêñèðîâàííîì x ∈ Ω óíêöèè G è v êàê óíêöèè
àðãóìåíòà y ∈ Ω óäîâëåòâîðÿþò ñîîòâåòñòâåííî óðàâíåíèÿì

                            ∆y G(x, y) = −δ(x, y),                       (4.12)

                                ∆y v(x, y) = 0,                          (4.13)

                                      186

Страницы