Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 188 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

G
u(x) =
Z
Ω
G(x, y)f(y)dy −
Z
Γ
∂G(x, y)
∂n
g(y)dσ
y
.
α(x) ≡ 0 β(x) ≡ 1 v
∂G(x, y)
∂n
y
= 0
y ∈ Γ ∀x ∈ Ω.
G
u(x) =
Z
Ω
G(x, y)f(y)dy +
Z
Γ
G(x, y)g(y)dσ
y
.
β(x) = 1 α(x) v
∂G(x, y)
∂n
+ α(y)G(x, y) = 0
y ∈ Γ ∀x ∈ Ω.
G
u(x) =
Z
Ω
G(x, y)f(y)dy +
Z
Γ
G(x, y)g(y)dσ
y
.
G(x, y)
G(x, y)
G
v
Ω
Γ = ∂Ω
Òîãäà ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ 4.4 óíêöèÿ G áóäåò èìåòü ñìûñë óíêöèè ðè-
íà ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ (4.1), à îðìóëà (4.17) ïðèíèìàåò
âèä
                                          ∂G(x, y)
                    Z                  Z
             u(x) = G(x, y)f (y)dy −               g(y)dσy .       (4.18)
                                              ∂n
                    Ω                    Γ
  2. α(x) ≡ 0, β(x) ≡ 1. Ïóñòü óíêöèÿ v âûáðàíà òàê, ÷òî
                   ∂G(x, y)
                            = 0 ïðè y ∈ Γ ∀x ∈ Ω.
                     ∂ny
Òîãäà óíêöèÿ G áóäåò ÿâëÿòüñÿ óíêöèåé ðèíà âòîðîé êðàåâîé çàäà÷è
äëÿ óðàâíåíèÿ (4.1), à îðìóëà (4.17) ïðèíèìàåò âèä
                      Z                 Z
             u(x) = G(x, y)f (y)dy + G(x, y)g(y)dσy .        (4.19)
                     Ω                   Γ

   3. β(x) = 1, α(x)  ãëàäêàÿ óíêöèÿ. Ïóñòü óíêöèÿ v âûáðàíà òàê,
÷òî
            ∂G(x, y)
                     + α(y)G(x, y) = 0 ïðè y ∈ Γ ∀x ∈ Ω.
                ∂n
Òîãäà â ýòîì ÷àñòíîì ñëó÷àå óíêöèÿ G áóäåò èìåòü ñìûñë óíêöèè ðèíà
òðåòüåé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ (4.1), à îðìóëà (4.17) ïðèíèìàåò
âèä                   Z                Z
               u(x) = G(x, y)f (y)dy + G(x, y)g(y)dσy .          (4.20)
                     Ω                   Γ
   Òàêèì îáðàçîì, çíàíèå óíêöèè ðèíà â ðàññìîòðåííûõ òðåõ ñëó÷àÿõ
ïîçâîëÿåò âûïèñàòü ÿâíîå ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé êðà-
åâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ (4.1) ÷åðåç åå èñõîäíûå äàííûå ïî îäíîé èç
îðìóë (4.18), (4.19), (4.20).  ýòîì è çàêëþ÷àåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèé ñìûñë
ââåäåíèÿ óíêöèè ðèíà.
   Çàìå÷àíèå 4.5. Âìåñòî òåðìèíà óíêöèÿ ðèíà G(x, y) â ëèòåðàòó-
ðå èíîãäà èñïîëüçóþò òåðìèíû óíêöèÿ èñòî÷íèêà (ñì., íàïðèìåð, [56,
ñ. 338℄) èëè óíêöèÿ âëèÿíèÿ.
   Çàìå÷àíèå 4.6. Êàê óæå óêàçûâàëîñü, çíàíèå óíêöèè ðèíà G(x, y)
ïîçâîëÿåò íàéòè ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è (4.1), (4.2) ïî îäíîé èç îðìóë
(4.18), (4.19) èëè (4.20), ïðè÷åì ïîñëåäíÿÿ îðìàëüíî ñîâïàäàåò ñ îðìó-
ëîé (4.19).  ñâîþ î÷åðåäü, äëÿ îïðåäåëåíèÿ óíêöèè G íåîáõîäèìî îïðå-
äåëèòü óíêöèþ v , ÿâëÿþùóþñÿ ðåãóëÿðíûì ðåøåíèåì îïåðàòîðà Ëàïëàñà
â îáëàñòè Ω, óäîâëåòâîðÿþùèì ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (4.15) íà ïîâåðõíîñòè
Γ = ∂Ω. Ìîæåò ñîçäàòüñÿ âïå÷àòëåíèå, ÷òî èìååò ìåñòî ïîðî÷íûé êðóã:
äëÿ ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (4.1), (4.2) íåîáõîäèìî ðåøèòü àíàëîãè÷íóþ

                                   188

Страницы