Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 181 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

n ≥ 3
g ∈ C(Γ) n = 2
−µ(x) + 2
Z
Γ
µ(y)
∂E(y, x)
∂n
x
dσ
y
= 0
µ
0
(x) = 1
ϕ ∈ C(Γ)
µ
0
R
Γ
g(x)dσ = 0
ˆϕ
R
Γ
ˆϕ(x)dσ = 0
ϕ(x) = ˆϕ(x) + Cϕ
0
(x) C
ϕ
0
−ϕ(x) + 2
Z
Γ
ϕ(y)
∂E(x, y)
∂n
x
dσ
y
= 0, x ∈ Γ.
ϕ
0
u V ϕ
ϕ ∈ C( Γ) V ϕ
Ω ϕ u = V ϕ
R
n
  Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè n ≥ 3 ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.21) äëÿ ëþáîé
óíêöèè g ∈ C(Γ) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî. Ïðè n = 2 ñîîòâåòñòâóþùåå
îäíîðîäíîå ñîïðÿæåííîå óðàâíåíèå
                                   ∂E(y, x)
                            Z
                  −µ(x) + 2 µ(y)            dσy = 0             (3.22)
                                     ∂nx
                              Γ

èìååò åäèíñòâåííîå íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå µ0 (x) = 1. Ïîýòîìó íåîäíî-
ðîäíîå óðàâíåíèå (3.21) èìååò ðåøåíèå ϕ ∈ C(Γ) òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (3.21) îðòîãîíàëüíà óíêöèè µ0 , ò. å. êîãäà
 Γ g(x)dσ = 0. Ïðè âûïîëíåíèè ýòîãî óñëîâèÿ ñóùåñòâóåò  R åäèíñòâåííîå
R

ðåøåíèå ϕ̂ óðàâíåíèÿ (3.21), óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ Γ ϕ̂(x)dσ = 0, à
îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.21) èìååò âèä ϕ(x) = ϕ̂(x) + Cϕ0(x). Çäåñü C
 ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à ϕ0  ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîäíîãî
óðàâíåíèÿ
                                 ∂E(x, y)
                         Z
               −ϕ(x) + 2 ϕ(y)             dσy = 0, x ∈ Γ.
                                    ∂nx
                          Γ
Ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ ϕ0 âûòåêàåò èç àëüòåðíàòèâû Ôðåäãîëüìà.
   Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïðèìåíåíèå Ì ÈÓ äëÿ âñåõ ðàññìîòðåííûõ âûøå êðà-
åâûõ çàäà÷ ïðèâåëî ê íåîáõîäèìîñòè ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ
Ôðåäãîëüìà 2-ãî ðîäà. Ýòî íå ñëó÷àéíî, à ñâÿçàíî ñ òåì îáñòîÿòåëüñòâîì,
÷òî çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ 2-ãî ðîäà ÿâëÿ-
åòñÿ êîððåêòíî ïîñòàâëåííîé çàäà÷åé.  ïðîòèâîïîëîæíîñòü ýòîìó, çàäà÷à
ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ 1-ãî ðîäà ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì íåêîððåêò-
íûõ çàäà÷ [53℄.
   Íàïîìíèì, ÷òî Ì ÈÓ ñîçäàâàëñÿ â íà÷àëå âåêà, êîãäà ìàòåìàòèêè èçáå-
ãàëè èññëåäîâàíèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷. Âîò ïî÷åìó îíè ïðèìåíÿëè òàêóþ
ñõåìó Ì ÈÓ, êîòîðàÿ ñâîäèëà ðàññìàòðèâàåìóþ êðàåâóþ çàäà÷ó ê ðåøå-
íèþ èìåííî èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé 2-ãî ðîäà.
   Êàê óæå óêàçûâàëîñü â ãë. 2, â íàñòîÿùåå âðåìÿ òåîðèÿ íåêîððåêòíûõ
çàäà÷ çàâîåâàëà ïðàâî íà ñâîå ñóùåñòâîâàíèå è ÿâëÿåòñÿ âàæíûì ðàçäå-
ëîì ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè. Ïîýòîìó òåïåðü äîïóñêàþòñÿ è òàêèå ñõåìû
Ì ÈÓ, êîòîðûå ïðèâîäÿò ê èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì 1-ãî ðîäà. ×òîáû
ïîÿñíèòü îäíó èç ýòèõ ñõåì, îáðàòèìñÿ ê çàäà÷å Äèðèõëå (3.1), (3.2). Áó-
äåì èñêàòü åå ðåøåíèå u â âèäå ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ V ϕ â (3.13) ïðè
ϕ ∈ C(Γ). Ïîñêîëüêó ïîòåíöèàë V ϕ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà
âñþäó â Ω, òî îñòàåòñÿ âûáðàòü ϕ òàê, ÷òîáû óíêöèÿ u = V ϕ óäîâëåòâî-
ðÿëà óñëîâèþ Äèðèõëå (3.2). àññóæäàÿ, êàê è ïðè âûâîäå èíòåãðàëüíîãî
óðàâíåíèÿ (3.8), ïðèõîäèì â ñèëó ñâîéñòâà íåïðåðûâíîñòè ïîòåíöèàëà ïðî-
ñòîãî ñëîÿ âñþäó â Rn ê ñëåäóþùåìó èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ 1-ãî ðîäà


                                   181

Страницы