Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 180 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Z
Γ
µ
0
(x)g(x)dσ ≡
Z
Γ
g(x)dσ = 0.
ϕ(x) =
ˆϕ(x)+Cϕ
0
(x)
ˆϕ ϕ
0
ϕ(x) + 2
Z
Γ
ϕ(y)
∂E(x, y)
∂n
x
dσ
y
= 0, x ∈ Γ,
u(x) = [V ϕ] (x) =
Z
Γ
ϕ(y)E(x, y)dσ
y
ϕ ∈ C(Γ)
∂u
−
(x
0
)/∂n x
0
∂u
−
(x
0
)
∂n
= −
1
2
ϕ(x
0
) +
Z
Γ
ϕ(y)
∂E(x
0
, y)
∂n
x
dσ
y
,
ϕ
−ϕ(x) + 2
Z
Γ
ϕ(y)
∂E(x, y)
∂n
x
dσ
y
= 2g(x), x ∈ Γ.
ϕ ∈ C(Γ)
òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè
                     Z               Z
                       µ0 (x)g(x)dσ ≡ g(x)dσ = 0.                    (3.18)
                     Γ                    Γ

Ïðè ýòîì îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.16) ïðåäñòàâèìî â âèäå ϕ(x) =
ϕ̂(x) + Cϕ0(x). Çäåñü ϕ̂  ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.16), à ϕ0  ðåøåíèå
ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ
                                   ∂E(x, y)
                           Z
                 ϕ(x) + 2 ϕ(y)              dσy = 0, x ∈ Γ,
                                     ∂nx
                             Γ

êîòîðîå â ñèëó àëüòåðíàòèâû Ôðåäãîëüìà ñóùåñòâóåò è îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷-
íîñòüþ äî ìóëüòèïëèêàòèâíîé ïîñòîÿííîé. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî óñëîâèå (3.18)
ñîâïàäàåò ñ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ðàçðåøèìîñòè êðàåâîé çàäà÷è (3.1),
(3.4).
    çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì çàäà÷ó 2.2. Ñëåäóÿ Ì ÈÓ, áóäåì èñêàòü åå
ðåøåíèå â âèäå ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ
                                     Z
                   u(x) = [V ϕ] (x) = ϕ(y)E(x, y)dσy             (3.19)
                                     Γ

ñ íåïðåðûâíîé (íåèçâåñòíîé ïîêà) ïëîòíîñòüþ ϕ ∈ C(Γ) . àññóæäàÿ, êàê
è â ñëó÷àå âíóòðåííåé çàäà÷è Íåéìàíà, íî ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðåäåëüíîå çíà-
÷åíèå ∂u−(x0 )/∂n ïðîèçâîäíîé ïî íîðìàëè îò óíêöèè (3.13) â òî÷êå x0
îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
               ∂u−(x0)     1               ∂E(x0, y)
                                    Z
                       = − ϕ(x0) + ϕ(y)              dσy ,      (3.20)
                 ∂n        2                 ∂nx
                                      Γ

ïðèõîäèì ê ãðàíè÷íîìó èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ 2-ãî ðîäà îòíîñèòåëüíî
íåèçâåñòíîé óíêöèè ϕ, èìåþùåìó âèä
                             ∂E(x, y)
                      Z
             −ϕ(x) + 2 ϕ(y)           dσy = 2g(x), x ∈ Γ.      (3.21)
                               ∂nx
                         Γ

   Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò â âèäå òåîðåìû.
   Òåîðåìà 3.4. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (j) óíêöèÿ (3.19) ÿâëÿåòñÿ
ðåøåíèåì âíåøíåé çàäà÷è Íåéìàíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïëîò-
íîñòü ϕ ∈ C(Γ) â (3.19) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ
(3.21).


                                    180

Страницы