Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 178 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

A
ψ(x) + 2
Z
Γ
ψ(y)
∂E(x, y)
∂n
y
dσ
y
= 0, x ∈ Γ,
ψ(x) + 2
Z
Γ
ψ(y)
∂E(y, x)
∂n
y
dσ
y
= 0, x ∈ Γ,
ψ
0
= 1
ψ ∈ C(Γ)
ψ
0
Z
Γ
g(x) −
A
|x|
n−2
dσ = 0.
A
ψ
u |x| → ∞ O(|x|
2−n
)
[W ψ](x) O(|x|
1−n
) |x| → ∞
Ω
e
u W ψ
W ψ A/|x|
n−2
O(|x|
−1
) |x| → ∞
n = 2
u
   Íåêîòîðóþ íåóäîâëåòâîðåííîñòü âûçûâàåò çäåñü òîò àêò, ÷òî â ïðåä-
ñòàâëåíèè (3.9) ðåøåíèÿ çàäà÷è 1.2 âõîäèò ïðîèçâîëüíàÿ ïîêà ïîñòîÿííàÿ
A, òîãäà êàê ðåøåíèå âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå åäèíñòâåííî (ñì. ãë. 6). Îä-
íàêî àíàëèç óðàâíåíèÿ (3.10) ïîêàçûâàåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùåå îäíîðîäíîå
óðàâíåíèå
                                ∂E(x, y)
                         Z
                 ψ(x) + 2 ψ(y)           dσy = 0, x ∈ Γ,          (3.11)
                                  ∂ny
                           Γ
òàê æå, êàê ñîïðÿæåííîå ê íåìó îäíîðîäíîå óðàâíåíèå, èìåþùåå âèä
                               ∂E(y, x)
                        Z
                ψ(x) + 2 ψ(y)           dσy = 0, x ∈ Γ,        (3.12)
                                 ∂ny
                           Γ

èìååò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå ψ0 = 1. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ðàññìàò-
ðèâàåìûõ çäåñü ëèíåéíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ñïðàâåäëèâà àëüòåðíà-
òèâà Ôðåäãîëüìà (ñì. [36, 42℄ è Ÿ 5). Ñîãëàñíî åé ñîîòâåòñòâóþùåå íåîä-
íîðîäíîå óðàâíåíèå (3.10) èìååò ðåøåíèå ψ ∈ C(Γ) òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà ïðàâàÿ ÷àñòü â (3.10) îðòîãîíàëüíà óíêöèè ψ0 , ò. å. êîãäà
                        Z              
                                     A
                            g(x) − n−2 dσ = 0.
                                   |x|
                       Γ

Ýòî óñëîâèå âûäåëÿåò åäèíñòâåííóþ êîíñòàíòó A, äëÿ êîòîðîé ñóùåñòâóåò
ðåøåíèå ψ óðàâíåíèÿ (3.10), êîòîðîìó, â ñâîþ î÷åðåäü, îòâå÷àåò ðåøåíèå
âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå â âèäå (3.9). Íå èìåÿ âîçìîæíîñòè â ýòîì ïàðàãðà-
å îñòàíàâëèâàòüñÿ íà àíàëèçå ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ
èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (3.10), îòñûëàåì ÷èòàòåëÿ ê êíèãàì [41, 42℄, ãäå
äåòàëüíî èçëîæåíû ñîîòâåòñòâóþùèå âîïðîñû.
   Îòìåòèì òàêæå, ÷òî íåêîòîðàÿ ñëîæíîñòü ðåøåíèÿ âíåøíåé çàäà÷è Äè-
ðèõëå îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ðåãóëÿðíàÿ íà áåñêîíå÷íîñòè ãàðìîíè÷åñêàÿ
óíêöèÿ u óáûâàåò ïðè |x| → ∞ ñ ïîðÿäêîì O(|x|2−n ), òîãäà êàê ïî-
òåíöèàë äâîéíîãî ñëîÿ [W ψ](x) âåäåò ñåáÿ êàê O(|x|1−n ) ïðè |x| → ∞.
Âîò ïî÷åìó ïðîèçâîëüíóþ ãàðìîíè÷åñêóþ â íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ωe
óíêöèþ u íåëüçÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, ïðåäñòàâèòü â âèäå ïîòåíöèàëà W ψ .
Äîáàâëåíèå ê ïîòåíöèàëó W ψ ñëàãàåìîãî A/|x|n−2 è ïîçâîëÿåò ïðåîäîëåòü
óêàçàííóþ òðóäíîñòü â ðåøåíèè âíåøíåé çàäà÷è. Àíàëîãè÷íàÿ òðóäíîñòü
âîçíèêàåò è â ñëó÷àå äâóõ èçìåðåíèé. Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå ïîòåí-
öèàë äâîéíîãî ñëîÿ óáûâàåò ñ ïîðÿäêîì O(|x|−1 ) ïðè |x| → ∞, òîãäà êàê
óñëîâèå ðåãóëÿðíîñòè (3.3) ïðè n = 2 ýêâèâàëåíòíî ëèøü îãðàíè÷åííîñòè
ãàðìîíè÷åñêîé óíêöèè u íà áåñêîíå÷íîñòè. Î ìåòîäàõ ïðåîäîëåíèÿ ýòîé
òðóäíîñòè ìîæíî ïðî÷èòàòü â [41, Ÿ 35℄.


                                  178

Страницы