Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 177 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u
+
(x
0
) = g(x
0
), x
0
∈ Γ.
ψ(x) − 2
Z
Γ
ψ(y)
∂E(x, y)
∂n
y
dσ
y
= −2g(x), x ∈ Γ.
ψ ∈ C(Γ)
g ∈ C(Γ)
ψ ∈ C(Γ) ψ
ψ
ψ ∈ C( Γ)
n ≥ 3 0 6∈ Ω
e
u(x) = [W ψ] (x) + A|x|
2−n
,
A |x|
2−n
R
n
x = 0
Ω
e
ψ ∈ C(Γ)
A
ψ
A
ψ
ψ(x) + 2
Z
Γ
ψ(y)
∂E(x, y)
∂n
y
dσ
y
= 2g(x) −
2A
|x|
n−2
, x ∈ Γ.
A
R
n
n ≥ 3 ψ ∈ C( Γ)
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ñèëó ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ (3.2) èìååì
                          u+(x0) = g(x0 ), x0 ∈ Γ.                   (3.7)
Ñðàâíèâàÿ (3.6) è (3.7), ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèþ
                              ∂E(x, y)
                      Z
            ψ(x) − 2 ψ(y)              dσy = −2g(x), x ∈ Γ.          (3.8)
                                ∂ny
                      Γ

   àâåíñòâî (3.8) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãðàíè÷íîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå
2-ãî ðîäà îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîé ïëîòíîñòè ψ ∈ C(Γ). Èç òåîðèè ëè-
íåéíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé (ñì. [36℄, [42℄), âûòåêàåò, ÷òî äëÿ ëþáîé
óíêöèè g ∈ C(Γ) èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå (3.8) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøå-
íèå ψ ∈ C(Γ). åøèâ óðàâíåíèå (3.8) è ïîäñòàâèâ íàéäåííóþ ïëîòíîñòü ψ
â (3.5), ïîëó÷èì èñêîìîå ðåøåíèå âíóòðåííåé çàäà÷è Äèðèõëå â âèäå ïî-
òåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ (3.5). Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò â âèäå
òåîðåìû.
   Òåîðåìà 3.1. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (j) óíêöèÿ (3.5) (ïîòåíöèàë
äâîéíîãî ñëîÿ ñ íåïðåðûâíîé ïëîòíîñòüþ ψ ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì âíóò-
ðåííåé çàäà÷è Äèðèõëå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïëîòíîñòü ψ ∈ C(Γ)
â (3.5) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (3.8).
   Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê âíåøíåé çàäà÷å Äèðèõëå, êîòîðóþ ðàññìîòðèì â
ñëó÷àå n ≥ 3 èçìåðåíèé. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî 0 6∈ Ωe, áóäåì èñêàòü åå ðåøåíèå
â âèäå
                       u(x) = [W ψ] (x) + A|x|2−n,                   (3.9)
ãäå A  íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ïîñêîëüêó óíêöèÿ |x|2−n óäîâëåòâîðÿåò
óðàâíåíèþ Ëàïëàñà âñþäó â Rn , êðîìå òî÷êè x = 0, òî â ñèëó òåîðåìû
2.3 óíêöèÿ (3.9) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (j) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
Ëàïëàñà (3.1) âñþäó â Ωe äëÿ ëþáîé óíêöèè ψ ∈ C(Γ) è ëþáîé êîíñòàíòû
A. Êðîìå òîãî, óíêöèÿ (3.9) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ðåãóëÿðíîñòè (3.3)
íà áåñêîíå÷íîñòè. Ñ ó÷åòîì ýòîãî âûáåðåì ψ (ïðè èêñèðîâàííîé ïîêà
êîíñòàíòå A) òàê, ÷òîáû óíêöèÿ (3.9) óäîâëåòâîðÿëà ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ
(3.2). àññóæäàÿ, êàê è âûøå, ëåãêî ïîêàçûâàåì, ÷òî äëÿ ýòîãî óíêöèÿ ψ
äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ãðàíè÷íîìó èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ
                        ∂E(x, y)                2A
                Z
        ψ(x) + 2 ψ(y)            dσy = 2g(x) − n−2 , x ∈ Γ.       (3.10)
                          ∂ny                 |x|
                Γ

Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò.
  Òåîðåìà 3.2. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (j) óíêöèÿ (3.9), ãäå A 
ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà, ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå
â Rn , n ≥ 3, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïëîòíîñòü ψ ∈ C(Γ) â (3.9)
ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (3.10).

                                    177

Страницы