Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 175 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

∂u(x
0
)/∂n
x
0
∈ Γ
∂u(x
0
)
∂n
=
Z
Γ
µ(y)
∂
∂n
x
E(x
0
, y)dσ
y
.
∂u
+
(x
0
)
∂n
−
∂u
−
(x
0
)
∂n
= µ(x
0
) ∀x
0
∈ Γ,
∂u(x
0
)/∂n ∈ C(Γ)
(jj) µ ∈ C
α
(Γ) α ≤ λ gradu
+
gradu
−
Ω Ω
e
gradu
+
∈ C
α
(Ω) gradu
−
∈ C
α
(Ω
e
) ∂u(x
0
)/∂n ∈ C
α
(Γ)
(j) (jj) Γ ∈ C
k+1,α
0 < α < 1 µ ∈ C
l,α
(Γ) l
k 0 ≤ l ≤ k u
+
∈ C
l+1,α
(Ω) u
−
∈ C
l+1,α
(Ω
e
)
Γ Ω
Çäåñü ∂u(x0)/∂n  ïðÿìîå çíà÷åíèå íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé ïîòåíöèàëà
ïðîñòîãî ñëîÿ â òî÷êå x0 ∈ Γ, îïðåäåëÿåìîå ñèíãóëÿðíûì èíòåãðàëîì
                   ∂u(x0)            ∂
                             Z
                          = µ(y)        E(x0, y)dσy .          (2.51)
                     ∂n             ∂nx
                                Γ

Ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâà îðìóëà ñêà÷êà
                    ∂u+(x0) ∂u−(x0)
                           −        = µ(x0 ) ∀x0 ∈ Γ,                     (2.52)
                      ∂n      ∂n
ïðè÷åì ∂u(x0)/∂n ∈ C(Γ).
   4) Åñëè â äîïîëíåíèå ê (jj) µ ∈ C α (Γ) ïðè α ≤ λ, òî gradu+ è gradu−
íåïðåðûâíî ïðîäîëæàþòñÿ â Ω è Ωe ñîîòâåòñòâåííî â âèäå óíêöèé
gradu+ ∈ C α (Ω), gradu− ∈ C α (Ωe) è, êðîìå òîãî, ∂u(x0)/∂n ∈ C α (Γ).
   5) Åñëè â äîïîëíåíèå ê (j), (jj) Γ ∈ C k+1,α, 0 < α < 1, µ ∈ C l,α (Γ), ãäå l
è k òàêèå öåëûå ÷èñëà, ÷òî 0 ≤ l ≤ k , òî u+ ∈ C l+1,α(Ω), u− ∈ C l+1,α(Ωe ).

     Ÿ3. Ìåòîä ãðàíè÷íûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé

    ýòîì ïàðàãðàå ìû èçëîæèì èäåþ îäíîãî èç îñíîâíûõ êëàññè÷åñêèõ
ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé  òàê
íàçûâàåìîãî ìåòîäà ãðàíè÷íûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé. Èäåÿ ýòîãî ìåòî-
äà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ
ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ èñêàòü â âèäå ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî èëè äâîéíî-
ãî ñëîÿ èëè íåêîòîðîé èõ êîìáèíàöèè. Ýòî ïîçâîëÿåò àâòîìàòè÷åñêè óäî-
âëåòâîðèòü óðàâíåíèþ Ëàïëàñà è, âîîáùå ãîâîðÿ, óñëîâèþ íà áåñêîíå÷íî-
ñòè, à ïîäñòàíîâêà ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèÿ â ãðàíè÷íîå
óñëîâèå ïðèâîäèò ê ãðàíè÷íîìó èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ äëÿ íàõîæäå-
íèÿ íåèçâåñòíîé ïëîòíîñòè. åøèâ ýòî óðàâíåíèå òî÷íî èëè ïðèáëèæåííî,
ïîëó÷èì èñêîìóþ ïëîòíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî èëè
äâîéíîãî ñëîÿ, êîòîðûé è ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì ðåøåíèåì ðàññìàòðèâàåìîé
êðàåâîé çàäà÷è. Ïîä÷åðêíåì åùå ðàç, ÷òî ñóùíîñòü îïèñàííîãî ìåòîäà ðå-
øåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé, íàçûâàåìîãî ìåòî-
äîì ãðàíè÷íûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé (Ì ÈÓ), çàêëþ÷àåòñÿ â ñâåäåíèè
ðàññìàòðèâàåìîé êðàåâîé çàäà÷è ê ãðàíè÷íîìó èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ,
ò. å. èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ ïî ãðàíèöå Γ îáëàñòè Ω, è ïîñëåäóþùåìó
ðåøåíèþ ïîëó÷åííîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Ýòî, ñ îäíîé ñòîðîíû, ïîç-
âîëÿåò èñïîëüçîâàòü ðàçðàáîòàííûé ðàíåå àïïàðàò òåîðèè èíòåãðàëüíûõ
óðàâíåíèé, à ñ äðóãîé  äàåò ìîùíûé ñòèìóë ê äàëüíåéøåìó ðàçâèòèþ
àïïàðàòà òåîðèè èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé.


                                      175

Страницы