Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 174 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Γ u
u
+
(x
0
) u
−
(x
0
)
x
0
∈ Γ
u
+
(x
0
) = −
1
2
µ(x
0
) +
Z
Γ
µ(y)
∂
∂n
y
E(x
0
, y)dσ
y
,
u
−
(x
0
) =
1
2
µ(x
0
) +
Z
Γ
µ(y)
∂
∂n
y
E(x
0
, y)dσ
y
,
u
+
(x
0
) − u
−
(x
0
) = −µ(x
0
) ∀x
0
∈ Γ.
Z
Γ
µ(y)
∂
∂n
y
E(x
0
, y)dσ
y
x
0
∈ Γ
C(Γ) u
+
∈ C(Ω) u
−
∈ C(Ω
e
)
µ ∈ C
α
(Γ) α ≤ λ u
+
∈ C
α
(Ω) u
−
∈
C
α
(
Ω
e
) x
0
∈ Γ
C
α
(Γ)
x ∈ R
n
x ∈ Γ n ≥ 3
u(x) = O
|x|
2−n
|x| → ∞.
R
n
\Γ u
u ∈ C
∞
(R
n
\Γ)
x
u ∈ C
α
(R
n
) ∀α ∈ [0, λ)
Γ n
Γ x
0
∈ Γ
∂u
+
(x
0
)/∂n ∂u
−
(x
0
)/∂n
Γ
∂u
+
(x
0
)
∂n
=
∂u(x
0
)
∂n
+
1
2
µ(x
0
), x
0
∈ Γ,
∂u
−
(x
0
)
∂n
=
∂u(x
0
)
∂n
−
1
2
µ(x
0
), x
0
∈ Γ.
   3) Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ãðàíèöó Γ ïîòåíöèàë äâîéíîãî ñëîÿ u èñïûòû-
âàåò ðàçðûâ. Ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ èçíóòðè u+ (x0 ) è èçâíå u−(x0 ) äëÿ
êàæäîé òî÷êè x0 ∈ Γ ñóùåñòâóþò è îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî îð-
ìóëàìè
                          1              ∂
                                  Z
              u+(x0) = − µ(x0) + µ(y)       E(x0, y)dσy ,       (2.45)
                          2             ∂ny
                                  Γ
                         1              ∂
                                 Z
               u−(x0 ) = µ(x0 ) + µ(y)     E(x0, y)dσy ,        (2.46)
                         2             ∂ny
                                   Γ
òàê ÷òî ñïðàâåäëèâà îðìóëà ñêà÷êà
                   u+(x0) − u−(x0) = −µ(x0 ) ∀x0 ∈ Γ.               (2.47)
Ïðè ýòîì ñèíãóëÿðíûé èíòåãðàë (ïðÿìîå çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà äâîéíîãî
ñëîÿ)
                              ∂
                      Z
                        µ(y)     E(x0, y)dσy                 (2.48)
                             ∂ny
                         Γ
â îðìóëàõ (2.45) è (2.46) êàê óíêöèÿ òî÷êè x0 ∈ Γ ïðèíàäëåæèò êëàñ-
ñó C(Γ). Êðîìå òîãî, u+ ∈ C(Ω), u− ∈ C(Ωe ).
   4) Åñëè â äîïîëíåíèå ê (jj) µ ∈ C α (Γ) è α ≤ λ, òî u+ ∈ C α (Ω), u− ∈
C α (Ωe ), à èíòåãðàë (2.48) êàê óíêöèÿ òî÷êè x0 ∈ Γ ïðèíàäëåæèò êëàññó
C α (Γ).
   Òåîðåìà 2.4. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (j), (jj). Òîãäà:
   1) Ïîòåíöèàë ïðîñòîãî ñëîÿ è îïðåäåëåí è íåïðåðûâåí äëÿ âñåõ x ∈ Rn
è, â ÷àñòíîñòè, äëÿ x ∈ Γ, à ïðè n ≥ 3 îí óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ íà
áåñêîíå÷íîñòè, èìåþùåìó âèä:
                      u(x) = O |x|2−n    ïðè |x| → ∞.               (2.49)
                                      

   2) Âñþäó â Rn \ Γ ïîòåíöèàë ïðîñòîãî ñëîÿ u èìååò ïðîèçâîäíûå âñåõ
ïîðÿäêîâ (ò. å. u ∈ C ∞ (Rn \Γ)) è óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà, ïðè-
÷åì ïðîèçâîäíûå ïî êîîðäèíàòàì òî÷êè x ìîæíî âû÷èñëÿòü äèåðåí-
öèðîâàíèåì ïîä çíàêîì èíòåãðàëà. Êðîìå òîãî, u ∈ C α (Rn ) ∀α ∈ [0, λ).
   3) Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ãðàíèöó Γ ïðîèçâîäíàÿ ïî âíåøíåé íîðìàëè n
ê ïîâåðõíîñòè Γ â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå x0 ∈ Γ òåðïèò ðàçðûâ. Ïðåäåëü-
íûå çíà÷åíèÿ ∂u+(x0 )/∂n è ∂u−(x0 )/∂n ïðîèçâîäíîé ïî íîðìàëè èçíóòðè
è èçâíå ñóùåñòâóþò, íåïðåðûâíû âñþäó íà Γ è îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòâåò-
ñòâåííî îðìóëàìè
∂u+(x0) ∂u(x0) 1   0    0     ∂u−(x0) ∂u(x0) 1
       =      + µ(x ), x ∈ Γ,        =      − µ(x0 ), x0 ∈ Γ.
  ∂n     ∂n    2                ∂n     ∂n    2
                                                        (2.50)

                                   174

Страницы