Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 172 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

−
1
2π
Z
B
′
ε
ln|x − y|∆
y
v(y)dy +
1
2π
q(x)v(x).
x ∈ B
ε/2
(x
0
)
C
1
(R
2
)
v
Γ
′
ε
qv v B
ε
(x
0
) x → x
0
qv B
ε
(x
0
)
Γ
Γ
∂u
+
(x
0
)
∂n
−
∂u(x
0
)
∂n
=
1
2
µ(x
0
), x
0
∈ Γ,
∂u
−
(x
0
)
∂n
−
∂u(x
0
)
∂n
= −
1
2
µ(x
0
), x
0
∈ Γ,
∂u
+
(x
0
)
∂n
−
∂u
−
(x
0
)
∂n
= µ(x
0
), x
0
∈ Γ.
∂u(x
0
)/∂n
∂u(x
0
)
∂n
=
1
2π
Z
Γ
(y − x
0
) · n(x
0
)
|x
0
− y|
2
µ(y)dσ
y
=
= lim
ε→0
1
2π
Z
Γ
′′
ε
(x
0
)
(y − x
0
) · n(x
0
)
|x
0
− y|
2
µ(y)dσ
y
.
(i) (ii)
u(x
0
) : Γ → R
x
0
∈ Γ C
1
(Γ)
(i), (ii)
x Ω Ω
e
x
0
∈ Γ ∂u/∂n
                    1                                        1
                        Z
                 −            ln|x − y|∆y v(y)dy +             q(x)v(x).   (2.40)
                   2π                                       2π
                        Bε′

   Ïî ñâîåé ñòðóêòóðå îðìóëà (2.40) àíàëîãè÷íà îðìóëå (2.27).  ÷àñò-
íîñòè, ïåðâûå äâà èíòåãðàëà â (2.40) ÿâëÿþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèìè óíêöè-
ÿìè òî÷êè x ∈ Bε/2 (x0 ), òîãäà êàê òðåòüå ñëàãàåìîå ïðèíàäëåæèò â ñèëó
òåîðåìû 1.1 ïðîñòðàíñòâó C 1 (R2 ). Â òî æå âðåìÿ ïîâåäåíèå ïîñëåäíåãî ñëà-
ãàåìîãî â (2.40) îòëè÷àåòñÿ îò ïîâåäåíèÿ ïîñëåäíåãî ñëàãàåìîãî â (2.27).
Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó ïåðâîãî óñëîâèÿ â (2.37), ñîãëàñíî êîòîðîìó v ðàâíà
íóëþ íà Γ′ε , óíêöèÿ qv , ðàâíàÿ v â Bε(x0 ), ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè x → x0 .
Ïîýòîìó óíêöèÿ qv ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé â Bε(x0 ). Îòñþäà ñëåäóåò âàæ-
íûé âûâîä î òîì, ÷òî ïîòåíöèàë ïðîñòîãî ñëîÿ (â îòëè÷èå îò ïîòåíöèàëà
äâîéíîãî ñëîÿ) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ãðàíèöó Γ. Òåì
íå ìåíåå íîðìàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ ïðè ïåðå-
õîäå ÷åðåç ãðàíèöó Γ ïðåòåðïåâàåò ðàçðûâ, êîòîðûé, êàê ëåãêî ïðîâåðèòü,
îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè
                   ∂u+(x0) ∂u(x0) 1
                          −      = µ(x0 ), x0 ∈ Γ,
                     ∂n     ∂n    2
                 ∂u−(x0) ∂u(x0)           1
                           −         = − µ(x0), x0 ∈ Γ,           (2.41)
                    ∂n          ∂n        2
                  ∂u+(x0) ∂u−(x0)
                            −          = µ(x0 ), x0 ∈ Γ.          (2.42)
                     ∂n          ∂n
 îðìóëàõ (2.41) è (2.42) ∂u(x0)/∂n ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìîå çíà÷åíèå
ïðîèçâîäíîé ïî íîðìàëè îò ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ (2.34), îïðåäåëÿåìîå
îðìóëîé (ñèíãóëÿðíûì èíòåãðàëîì)
               ∂u(x0)       1    (y − x0 ) · n(x0)
                              Z
                        =                          µ(y)dσy =
                  ∂n       2π       |x0 − y|2
                                       Γ

                         1                   (y − x0 ) · n(x0)
                                   Z
                  = lim                                        µ(y)dσy .
                    ε→0 2π                      |x0 − y|2
                                Γ′′ε (x0 )

   Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû.
   Ëåììà 2.3. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i), (ii) ïðÿìîå çíà÷åíèå ïîòåí-
öèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ u(x0 ) : Γ → R ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóå-
ìîé óíêöèåé â êàæäîé òî÷êå x0 ∈ Γ, ò. å. ïðèíàäëåæèò êëàññó C 1 (Γ).
   Òåîðåìà 2.2. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i), (ii) ïîòåíöèàë ïðîñòîãî
ñëîÿ (2.34) ïðè ïåðåõîäå òî÷êè x èç îáëàñòè Ω â îáëàñòü Ωe ÷åðåç òî÷êó
x0 ∈ Γ îñòàåòñÿ íåïðåðûâíûì, à åãî íîðìàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ∂u/∂n ïðå-
òåðïåâàåò ðàçðûâ ñî ñêà÷êàìè, îïðåäåëÿåìûìè îðìóëàìè (2.41), (2.42).

                                                172

Страницы