Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 171 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

µ
Z
Γ
µ(y)dσ
y
= 0.
R
2
n = 2
Γ µ
v C
2
(B
ε
)
v(y) = 0,
∂v(y)
∂n
= µ(y), y ∈ Γ
′
ε
,
Z
Γ
′
ε
µ(y)ln|x − y|dσ
y
+
Z
S
′
ε
ln|x − y|
∂v(y)
∂n
y
− v(y)
∂
∂n
y
ln|x − y|
dσ
y
+
+q(x)v(x) =
Z
B
′
ε
ln|x − y|∆
y
v(y)dy, x ∈ B
ε
(x
0
).
x
0
∈ Γ
u(x
0
) ≡ −
1
2π
Z
Γ
ln|x
0
−y|µ(y)dσ
y
= −
1
2π
lim
ε→0
Z
Γ
′′
ε
(x
0
)
ln|x
0
−y|µ(y)dσ
y
.
B
ε/2
(x
0
)
Γ
u(x) = −
1
2π
Z
Γ
′′
ε
µ(y)ln|x − y|dσ
y
−
−
1
2π
Z
S
′
ε
v(y)
∂
∂n
y
ln|x − y| − ln|x − y|
∂v(y)
∂n
y
dσ
y
−
ïëîòíîñòü µ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
                            Z
                              µ(y)dσy = 0.                              (2.36)
                                     Γ

Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (2.36) ïîòåíöèàë ïðîñòîãî ñëîÿ â R2 ðàâíîìåðíî
ñòðåìèòñÿ ê íóëþ íà áåñêîíå÷íîñòè.
   Òàê æå, êàê è â ï. 2.1, 2.2, îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ñëó÷àÿ n = 2
ïðè âûïîëíåíèè òåõ æå óñëîâèé (i), (ii) íà Γ è µ. Ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ,
èñïîëüçóåìûå âûøå ïðè âûâîäå îðìóëû (2.27) äëÿ ïîòåíöèàëà äâîéíîãî
ñëîÿ, ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå âìåñòî îðìóëû (2.4)
áåðåòñÿ îðìóëà (2.34), à â êà÷åñòâå v âûáèðàåòñÿ óíêöèÿ êëàññà C 2 (B ε ),
óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì
                                         ∂v(y)
                         v(y) = 0,             = µ(y), y ∈ Γ′ε ,        (2.37)
                                          ∂n
ïðèõîäèì âìåñòî (2.24) ê îðìóëå
                        Z                                      
                                      ∂v(y)         ∂
   Z
     µ(y)ln|x − y|dσy +     ln|x − y|       − v(y)     ln|x − y| dσy +
                                       ∂ny         ∂ny
   Γ′ε                       Sε′
                               Z
             +q(x)v(x) =             ln|x − y|∆y v(y)dy, x ∈ Bε (x0).   (2.38)
                               Bε′

Ïî àíàëîãèè ñ ïðÿìûì çíà÷åíèåì ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ ïðÿìûì çíà-
÷åíèåì ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ â òî÷êå x0 ∈ Γ íàçîâåì íåñîáñòâåííûé
èíòåãðàë
            1                       1
              Z                            Z
    0               0
 u(x ) ≡ −      ln|x −y|µ(y)dσy = − lim       ln|x0 −y|µ(y)dσy . (2.39)
           2π                      2π ε→0
              Γ                                        Γ′′ε (x0 )

   Êàê è â ï. 2.2, áóäåì ðàññìàòðèâàòü çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ
(2.34) â êðóãå Bε/2 (x0 ), â òîì ÷èñëå è â òî÷êàõ, ëåæàùèõ íà ó÷àñòêå ãðà-
íèöû Γ. àññóæäàÿ, êàê è â ï. 2.2, ïåðåïèøåì (2.34) ñ ó÷åòîì (2.38) â
ñëåäóþùåì âèäå:
                                 1
                                   Z
                      u(x) = −        µ(y)ln|x − y|dσy −
                                2π
                                          Γ′′ε
                   Z                                         
               1               ∂                        ∂v(y)
            −            v(y)     ln|x − y| − ln|x − y|         dσy −
              2π              ∂ny                        ∂ny
                   Sε′

                                                 171

Страницы