Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 169 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

1
2π
Z
S
′
ε
v(y)
∂
∂n
y
ln|x − y|−ln|x − y|
∂v(y)
∂n
y
dσ
y
+
+
1
2π
Z
B
′
ε
ln|x − y|∆v(y)dy −
1
2π
q(x)v(x), x ∈ B
ε
(x
0
).
x
0
x
0
B
ε/2
(x
0
) ε/2
(B
′
ε
, ∆v) v
R
2
x x
0
v ∈ C
2
(B
ε
) q
q
B
′
ε
Γ
′
ε
B
′′
ε
B
ε
qv
u Γ
x
0
x
0
Γ
(i), (ii)
u(x
0
) : Γ → R
x
0
∈ Γ C
1
(Γ)
qv
Γ x
Ω Ω
e
x
0
u(x
0
), u
+
(x
0
) = lim
x→x
0
x∈Ω
u(x), u
−
(x
0
) = lim
x→x
0
x∈Ω
e
u(x)
u
+
(x
0
) − u(x
0
) = −
1
2
µ(x
0
), u
−
(x
0
) − u(x
0
) =
1
2
µ(x
0
),
u
+
(x
0
) − u
−
(x
0
) = −µ(x
0
).
                     Z                                      
                1             ∂                        ∂v(y)
                        v(y)     ln|x − y| − ln|x − y|         dσy +
               2π            ∂ny                        ∂ny
                     Sε′

           1                                1
               Z
        +            ln|x − y|∆v(y)dy −       q(x)v(x), x ∈ Bε (x0).   (2.27)
          2π                               2π
               Bε′

   Àíàëèç îðìóëû (2.27) ïîçâîëÿåò ñäåëàòü íåñêîëüêî âàæíûõ âûâîäîâ
îòíîñèòåëüíî ïîâåäåíèÿ ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ (2.4) â îêðåñòíîñòè òî÷-
êè x0 . Ïðåæäå âñåãî îòìåòèì, ÷òî ïåðâûå äâà ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè
(2.27) ÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìûìè è, áîëåå òîãî, ãàðìîíè-
÷åñêèìè óíêöèÿìè â ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , íàïðèìåð, â êðóãå
Bε/2(x0) ðàäèóñà ε/2. Òðåòüå ñëàãàåìîå, áóäó÷è ïëîñêèì ïîòåíöèàëîì ïà-
ðû (Bε′ , ∆v), ÿâëÿåòñÿ â ñèëó ñâîéñòâ óíêöèè v è òåîðåìû 1.1 íåïðåðûâíî-
äèåðåíöèðóåìîé óíêöèåé âñþäó â R2 . Ïîýòîìó ïîâåäåíèå ïîòåíöèàëà
äâîéíîãî ñëîÿ ïðè ïåðåõîäå òî÷êè x ÷åðåç òî÷êó x0 öåëèêîì è ïîëíîñòüþ
îïðåäåëÿåòñÿ ïîâåäåíèåì ïîñëåäíåãî ñëàãàåìîãî, à àêòè÷åñêè ñ ó÷åòîì
óñëîâèÿ v ∈ C 2 (B ε ) ïîâåäåíèåì óíêöèè q .
   Ïîñêîëüêó óíêöèÿ q ïðèíèìàåò ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ íà êàæäîé èç
òðåõ ÷àñòåé Bε′ , Γ′ε è Bε′′ êðóãà Bε , òî óíêöèÿ qv ÿâëÿåòñÿ äâàæäû íåïðå-
ðûâíî äèåðåíöèðóåìîé óíêöèåé íà êàæäîé èç ýòèõ ÷àñòåé. Îòñþäà, â
÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî ñóæåíèå ïîòåíöèàëà u íà ãðàíèöó Γ, ò. å. ïðÿìîå
çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ, ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî äèåðåíöèðó-
åìîé óíêöèåé â óêàçàííîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 . Ïîñêîëüêó x0  ïðîèç-
âîëüíàÿ òî÷êà ãðàíèöû Γ, òî îòñþäà ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó.
   Ëåììà 2.2. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i), (ii) ïðÿìîå çíà÷åíèå ïîòåí-
öèàëà äâîéíîãî ñëîÿ u(x0 ) : Γ → R ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóå-
ìîé óíêöèåé â êàæäîé òî÷êå x0 ∈ Γ, ò.å. ïðèíàäëåæèò êëàññó C 1 (Γ).
   Â òî æå âðåìÿ ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå qv äàæå íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé
óíêöèåé ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ãðàíèöó Γ. Ïîýòîìó, êîãäà òî÷êà x ïåðåõîäèò
èç îáëàñòè Ω â îáëàñòü Ωe ÷åðåç x0 , ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â (2.27) ïðåòåðïå-
âàåò ñîãëàñíî (2.25) ðàçðûâ 1-ãî ðîäà, òîãäà êàê âñå èíòåãðàëüíûå ÷ëåíû â
ïðàâîé ÷àñòè (2.27) îñòàþòñÿ íåïðåðûâíî-äèåðåíöèðóåìûìè. Ñ ó÷åòîì
ýòîãî îáñòîÿòåëüñòâà è îðìóëû (2.25) ëåãêî ïîëó÷àåì, ÷òî âåëè÷èíû

                 u(x0), u+ (x0) = lim0 u(x), u−(x0) = lim0 u(x)        (2.28)
                                    x→x                   x→x
                                     x∈Ω                  x∈Ωe


óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèÿì
                         1                         1
       u+(x0) − u(x0) = − µ(x0 ), u−(x0 ) − u(x0) = µ(x0 ),            (2.29)
                         2                         2
                            u+ (x0) − u− (x0) = −µ(x0).                (2.30)

                                           169

Страницы