Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 167 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

æ(σ)/2π α β α
′
s
β
′
s
σ s α
2
+ β
2
6= 0 ∀σ, s
K
s σ Γ
K Γ
x
0
σ Γ
(i) (ii)
Γ
µ ∈ C
2
(Γ)
µ ∈ C(Γ) µ Γ
B
ε
(x
0
) ε x
0
∈ Γ
Γ
′
ε
Γ Ω B
ε
, B
′
ε
= B
ε
(x
0
) ∩ Ω
B
′′
ε
= B
ε
\ B
′
ε
v C
2
(B
ε
)
v(y) = µ(y),
∂v(y)
∂n
y
= 0, y ∈ Γ
′
ε
.
µ ∈ C
2
(Γ)
S
′
ε
S
ε
≡ S
ε
(x
0
) = {x ∈ R
2
:
|x −x
0
| = ε}
Ω
x 6∈ B
′
ε
2
X
i=1
∂
∂y
i
ln|x − y|
∂v(y)
∂y
i
− v(y)
∂
∂y
i
ln|x − y|
=
= ln|x − y|∆
y
v(y) − v(y)∆
y
ln|x − y|
B
′
ε
∆
y
ln|x−y| = 0 B
′
ε
x 6∈ B
′
ε
Z
Γ
′
ε
∪S
′
ε
ln|x − y|
∂v(y)
∂n
y
− v(y)
∂ln|x −y|
∂n
y
dσ
y
=
=
Z
B
′
ε
ln|x −y|∆
y
v(y)dy ∀x ∈ B
′′
ε
(x
0
).
æ(σ)/2π . Ïîñêîëüêó â ñèëó óñëîâèÿ (i) óíêöèè α, β , αs′ , βs′ íåïðåðûâíû
ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ σ è s, ïðè÷åì α2 + β 2 6= 0 ∀σ, s, òî óáåæäàåì-
ñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè âûâîäà î íåïðåðûâíîñòè óíêöèè K ïî ñîâîêóïíîñòè
ïåðåìåííûõ s, σ íà Γ.
    Èç íåïðåðûâíîñòè óíêöèè K íà Γ ñëåäóåò, ÷òî ïðÿìîå çíà÷åíèå (2.6)
(ëèáî (2.10)) ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåïðåðûâíóþ
óíêöèþ îò x0 (ëèáî îò σ ) íà Γ. Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò â
âèäå ëåììû.
    Ëåììà 2.1. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i), (ii) ïðÿìîå çíà÷åíèå (2.6)
ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ (2.4) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íà Γ óíêöèåé.
    Çàìå÷àíèå 2.1. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå ëåììû 2.1 óñëîâèå µ ∈ C 2 (Γ)
íå èñïîëüçîâàëîñü. Ôàêòè÷åñêè äëÿ åå ñïðàâåäëèâîñòè äîñòàòî÷íî óñëîâèÿ
µ ∈ C(Γ), èëè óñëîâèÿ, ÷òî µ ÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðóåìîé (ïî Ëåáåãó) íà Γ
óíêöèåé.
    2.2. Òåîðåìà î ñêà÷êå äëÿ ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ. Ïóñòü
Bε (x0)  êðóã äîñòàòî÷íî ìàëîãî ðàäèóñà ε ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 ∈ Γ,
Γ′ε  ÷àñòü ãðàíèöû Γ îáëàñòè Ω, ëåæàùàÿ âíóòðè Bε , Bε′ = Bε(x0 ) ∩ Ω,
Bε′′ = Bε \ Bε′ . Îáîçíà÷èì ÷åðåç v óíêöèþ êëàññà C 2(B ε), óäîâëåòâîðÿþ-
ùóþ óñëîâèÿì
                                    ∂v(y)
                       v(y) = µ(y),       = 0, y ∈ Γ′ε .              (2.20)
                                     ∂ny
Ïîñêîëüêó µ ∈ C 2 (Γ), òî ñóùåñòâîâàíèå òàêîé óíêöèè äîêàçûâàåòñÿ áåç
òðóäà (ñì. [9, . 67℄). Ïóñòü Sε′  ÷àñòü îêðóæíîñòè Sε ≡ Sε (x0 ) = {x ∈ R2 :
|x − x0 | = ε}, ëåæàùàÿ â îáëàñòè Ω (ñì. ðèñ. 2.1à).
   Ïðåäïîëîæèì, ÷òî x 6∈ Bε′ , è ïðîèíòåãðèðóåì òîæäåñòâî
               2                                        
              X    ∂               ∂v(y)        ∂
                         ln|x − y|       − v(y) ln|x − y| =
              i=1
                  ∂y i              ∂yi        ∂yi

                         = ln|x − y|∆y v(y) − v(y)∆y ln|x − y|          (2.21)
ïî îáëàñòè Bε′ . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ∆y ln|x−y| = 0 â B ′ε ïðè x 6∈ Bε′ , è ïðèìåíÿÿ
ê ëåâîé ÷àñòè (2.21) äâóìåðíóþ îðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì (2.4)
èç ãë. 6, áóäåì èìåòü
                 Z                                    
                               ∂v(y)        ∂ln|x − y|
                     ln|x − y|       − v(y)              dσy =
                                ∂ny            ∂ny
              Γ′ε ∪Sε′
                             Z
                         =         ln|x − y|∆y v(y)dy ∀x ∈ Bε′′ (x0).   (2.22)
                             Bε′



                                               167

Страницы