Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 166 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

=
y
′
2
(s)[y
1
(s) − x
0
1
(σ)] −y
′
1
(s)[y
2
(s) − x
0
2
(σ)]
[y
1
(s) − x
0
1
(σ)]
2
=
[y(s) − x
0
(σ)] · n(y)
[y
1
(s) − x
0
1
(σ)]
2
∂ψ(σ, s)
∂s
=
[y
1
(s) − x
0
1
(σ)]
2
[y
1
(s) − x
0
1
(σ)]
2
+ [y
2
(s) − x
0
2
(σ)]
2
∂
∂s
[y
2
(s) − x
0
2
(σ)]
y
1
(s) − x
0
1
(σ)
=
=
[y(s) − x
0
(σ)] · n(y)
|y(s) −x
0
(σ)|
2
=
cos ϕ(s, σ)
|y(s) −x
0
(σ)|
= 2πK(σ, s).
K
σ, s Γ
α(σ, s) =
y
2
(s) − x
0
2
(σ)
s − σ
, β(σ, s) =
y
1
(s) − x
0
1
(σ)
s − σ
,
K
K(σ, s) =
1
2π
β(σ, s)α
′
s
(σ, s) − α(σ, s)β
′
s
(σ, s)
α
2
(σ, s) + β
2
(σ, s)
.
Γ
y
1
= ξ
1
(s) y
2
= ξ
2
(s) 0 ≤ s ≤ l l
y
1
(s) − x
0
1
(σ) = (s − σ)
1
Z
0
ξ
′
1
[s + τ(σ − s)]dτ,
y
2
(s) − x
0
2
(σ) = (s − σ)
1
Z
0
ξ
′
2
[s + τ(σ − s)]dτ.
lim
s→σ
K(σ, s) =
1
2π
x
0
2
′
(σ)x
0
1
′′
(σ) − x
0
1
′
(σ)x
0
2
′′
(σ)
(x
0
1
′
)
2
+ (x
0
2
′
)
2
=
æ(σ)
2π
.
æ(σ) Γ σ ∈ Γ
æ(σ) =
x
0
2
′
(σ)x
0
1
′′
(σ) − x
0
1
′
(σ)x
0
2
′′
(σ)
(x
0
1
′
)
2
+ (x
0
2
′
)
2
Γ
K(σ, s) s = σ K(σ, σ) =
        y2′ (s)[y1(s) − x01(σ)] − y1′ (s)[y2(s) − x02(σ)] [y(s) − x0(σ)] · n(y)
      =                                                  =
                        [y1(s) − x01(σ)]2                   [y1(s) − x01 (σ)]2
òî
                           [y1(s) − x01(σ)]2           ∂ [y2(s) − x02(σ)]
                                                                         
      ∂ψ(σ, s)
               =                                                            =
        ∂s       [y1(s) − x01(σ)]2 + [y2(s) − x02(σ)]2 ∂s y1 (s) − x01(σ)
         [y(s) − x0(σ)] · n(y)     cos ϕ(s, σ)
       =                       =                 = 2πK(σ, s).   (2.13)
            |y(s) − x0 (σ)|2     |y(s) − x0 (σ)|
  Èñïîëüçóÿ (2.13), ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî óíêöèÿ K íåïðåðûâíà ïî ñîâî-
êóïíîñòè ïåðåìåííûõ σ, s íà Γ. Äåéñòâèòåëüíî, èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèÿ
                         y2(s) − x02(σ)             y1 (s) − x01(σ)
               α(σ, s) =                , β(σ, s) =                 ,           (2.14)
                             s−σ                         s−σ
ïåðåïèøåì âûðàæåíèå äëÿ K â âèäå
                             1 β(σ, s)αs′ (σ, s) − α(σ, s)βs′ (σ, s)
                  K(σ, s) =                                          .          (2.15)
                            2π        α2 (σ, s) + β 2(σ, s)
   Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êðèâàÿ Γ çàäàíà ñëåäóþùèìè ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâ-
íåíèÿìè y1 = ξ1 (s), y2 = ξ2 (s), 0 ≤ s ≤ l, ãäå l  äëèíà åå äóãè. Â òàêîì
ñëó÷àå, î÷åâèäíî, èìååì
                                                  Z1
                  y1(s) − x01(σ) = (s − σ)             ξ1′ [s + τ (σ − s)]dτ,   (2.16)
                                                   0

                                                  Z1
                  y2(s) − x02(σ) = (s − σ)             ξ2′ [s + τ (σ − s)]dτ.   (2.17)
                                                   0
     Èç (2.15) òîãäà ñëåäóåò, ÷òî
                                ′       ′′             ′       ′′
                         1 x02 (σ)x01 (σ) − x01 (σ)x02 (σ) æ(σ)
          lim K(σ, s) =                ′         ′        =     .               (2.18)
          s→σ           2π         (x01 )2 + (x02 )2        2π
Çäåñü æ(σ)  çíà÷åíèå êðèâèçíû êðèâîé Γ â òî÷êå σ ∈ Γ, ïðè÷åì ìû âîñ-
ïîëüçîâàëèñü èçâåñòíîé îðìóëîé (ñì. [19℄)
                                    ′        ′′            ′        ′′
                              x02 (σ)x01 (σ) − x01 (σ)x02 (σ)
                       æ(σ) =             ′         ′                           (2.19)
                                      (x01 )2 + (x02 )2
äëÿ êðèâèçíû êðèâîé Γ, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè âèäà
(2.16), (2.17). Äîîïðåäåëèì K(σ, s) ïðè s = σ ñëåäóþùèì îáðàçîì: K(σ, σ) =

                                             166

Страницы