Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 165 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

s
n
y
t
y
n
1
(y) = t
2
(y) ≡ y
′
2
(s), n
2
(y) = −t
1
(y) ≡ −y
′
1
(s).
ϕ = ϕ(x
0
, y) ≡ ϕ(σ, s)
y − x
0
n(y) y |n
y
| = 1
cos ϕ =
(y − x
0
) · n
y
|y − x
0
|
.
Γ ∋ y →
s ∈ [0, l]
dσ
y
= |y
′
(s)|ds = ds l Γ
u[x
0
(σ)] = −
1
2π
Z
Γ
(y − x
0
) · n
y
|y − x
0
|
2
µ(y)dσ
y
= −
1
2π
Z
Γ
µ(y)
cos ϕ(x
0
, y)
|y − x
0
|
dσ
y
=
= −
1
2π
l
Z
0
µ[y(s)]
cos ϕ(σ, s)|y
′
(s)|
|y(s) − x
0
(σ)|
ds.
Γ
K : Π = [0, l] × [0, l] → R
K(σ, s) =
1
2π
cos ϕ(σ, s)
|y(s) − x
0
(σ)|
.
K(σ, s) σ = s
Π K
σ = s K : Π → R
Π
ψ(σ, s) = arctg
y
2
(s) − x
0
2
(σ)
y
1
(s) − x
0
1
(σ)
∂
∂s
y
2
(s) − x
0
2
(σ)
y
1
(s) − x
0
1
(σ)
=
Ñ ó÷åòîì âûáðàííîãî íàïðàâëåíèÿ âîçðàñòàíèÿ s ñïðàâåäëèâû ñëåäóþ-
ùèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó êîìïîíåíòàìè âåêòîðîâ ny è ty [19, . 418℄ (ñì.
ðèñ. 2.1á)

              n1(y) = t2 (y) ≡ y2′ (s), n2 (y) = −t1 (y) ≡ −y1′ (s).        (2.8)

  Îáîçíà÷èì äàëåå ÷åðåç ϕ = ϕ(x0, y) ≡ ϕ(σ, s) óãîë ìåæäó âåêòîðàìè
y − x0 è n(y) â òî÷êå y (ñì. ðèñ. 2.1á). Ïîñêîëüêó |ny | = 1, òî, î÷åâèäíî,
èìååì
                                  (y − x0) · ny
                          cos ϕ =               .                      (2.9)
                                     |y − x0 |
Ó÷èòûâàÿ (2.8) è ïðîèçâîäÿ â èíòåãðàëå (2.6) çàìåíó ïåðåìåííîé Γ ∋ y →
s ∈ [0, l], dσy = |y′ (s)|ds = ds, ãäå l  äëèíà ãðàíèöû Γ, ïåðåïèøåì (2.6) â
âèäå
                               0
                  1     (y −     ) ·                  1        cos ϕ(x0, y)
                    Z                                   Z
     0                       x       n y
  u[x (σ)] = −                           µ(y)dσy = −      µ(y)              dσy =
                 2π       |y − x0 |2                 2π          |y − x0 |
                   Γ                                      Γ

                               Zl
                           1                cos ϕ(σ, s)|y′(s)|
                       =−           µ[y(s)]                    ds.        (2.10)
                          2π                 |y(s) − x0 (σ)|
                               0
Èç (2.10) âûòåêàåò, ÷òî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà (2.6)
è íåïðåðûâíîñòè åãî íà Γ äîñòàòî÷íî äîêàçàòü íåïðåðûâíîñòü óíêöèè
K : Π = [0, l] × [0, l] → R (ÿäðà èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà â (2.10)), îïðå-
äåëÿåìîé îðìóëîé
                                          1 cos ϕ(σ, s)
                          K(σ, s) =                        .              (2.11)
                                         2π |y(s) − x0(σ)|
Òî÷íåå ãîâîðÿ, òàê êàê K(σ, s) íå îïðåäåëåíà íà äèàãîíàëè σ = s ïðÿìî-
óãîëüíèêà Π, òî íàì ñëåäóåò äîêàçàòü, ÷òî ÿäðî K òàê ìîæíî äîîïðåäåëèòü
ïðè σ = s, ÷òî äîîïðåäåëåííàÿ óíêöèÿ K : Π → R ñòàíîâèòñÿ íåïðåðûâ-
íîé âñþäó â Π.
   Ââåäåì óíêöèþ

                                          y2(s) − x02(σ)
                          ψ(σ, s) = arctg                                 (2.12)
                                          y1(s) − x01(σ)
è îòìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó ñ ó÷åòîì (2.8)

                          ∂ y2 (s) − x02(σ)
                                           
                                              =
                         ∂s y1 (s) − x01(σ)

                                           165

Страницы