Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 163 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Ω
R
n
Γ Ω
e
≡ R
n
\Ω n
y
Γ y µ Γ
E
n
(·, y)
R
n
Γ µ u : R
n
\Γ →
R
x
u(x) =
Z
Γ
µ(y)
∂E
n
(x, y)
∂n
y
dσ
y
.
dσ
y
n = 2
y
y ∈ Γ E
n
(x, y) x 6= y
x
∂E
n
(x, y)
∂n
y
≡ ∇
y
E
n
(x, y) · n
y
≡
(n −2)(x − y)
ω
n
|x − y|
n
· n
y
n ≥ 3
∂E
2
(x, y)
∂n
y
≡ ∇
y
E
2
(x, y) · n
y
=
x − y
2π|x − y|
2
· n
y
= −
y − x
2π|x − y|
2
· n
y
n = 2 |x| → ∞ O(|x|
1−n
)
R
n
\Γ n ≥ 2
|x| → ∞ O(|x|
1−n
)
n = 3
x ∈ R
3
\ Γ
µ n
y
Γ
u(x) x Ω
Ω
e
= R
n
\Ω
u(x) =
Z
Γ
µ(y)
E
2
(x, y)
∂n
y
dσ
y
=
1
2π
Z
Γ
µ(y)
∂
∂n
y
ln
1
|x − y |
dσ
y
.
Ÿ2. Ýëåìåíòû òåîðèè ïîòåíöèàëîâ ïðîñòîãî è äâîéíîãî
                                   ñëîÿ

  2.1. Îïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ.         Ïóñòü Ω  îãðàíè-
÷åííàÿ îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà R ñ ãðàíèöåé Γ, Ωe ≡ R \ Ω, ny  åäèíè÷íàÿ
                               n                       n

âíåøíÿÿ íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè Γ â òî÷êå y, µ  çàäàííàÿ íà Γ íåïðå-
ðûâíàÿ âåùåñòâåííàÿ óíêöèÿ, En(·, y)  ñèíãóëÿðíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà
Ëàïëàñà â Rn , îïðåäåëÿåìîå îðìóëàìè (1.1) è (1.2).
   Îïðåäåëåíèå 2.1. Ïîòåíöèàëîì äâîéíîãî ñëîÿ çàðÿäîâ, ðàñïðåäåëåí-
íûõ ïî ïîâåðõíîñòè Γ ñ ïëîòíîñòüþ µ, íàçûâàåòñÿ óíêöèÿ u : Rn \Γ →
R (ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë, çàâèñÿùèé îò ïàðàìåòðà x), îïðåäåëÿåìàÿ
îðìóëîé
                                   ∂En(x, y)
                             Z
                      u(x) = µ(y)            dσy .                (2.1)
                                      ∂ny
                              Γ
Çäåñü dσy  ýëåìåíò ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè (äëèíû äóãè ïðè n = 2), îò-
íîñÿùèéñÿ ê òî÷êå y.
   Òàê êàê y ∈ Γ, à óíêöèÿ En(x, y) ïðè âñåõ x 6= y ÿâëÿåòñÿ ãàðìî-
íè÷åñêîé ïî x óíêöèåé, ïðè÷åì ïðîèçâîäíàÿ ïî íîðìàëè, îïðåäåëÿåìàÿ
îðìóëîé
            ∂En(x, y)                      (n − 2)(x − y)
                      ≡ ∇y En(x, y) · ny ≡                · ny          (2.2)
              ∂ny                            ωn |x − y|n
ïðè n ≥ 3, è îðìóëîé
  ∂E2(x, y)                        x−y                  y−x
            ≡ ∇y E2(x, y) · ny =            · n y = −            · ny   (2.3)
    ∂ny                          2π|x − y|2           2π|x − y|2
ïðè n = 2, ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè |x| → ∞ ñ ïîðÿäêîì O(|x|1−n ), òî ïî-
òåíöèàë äâîéíîãî ñëîÿ âñþäó â Rn \ Γ ïðè n ≥ 2 ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé
óíêöèåé, ñòðåìÿùåéñÿ ê íóëþ ïðè |x| → ∞ ñ ïîðÿäêîì O(|x|1−n ). Íà-
ïîìíèì òàêæå (ñì. Ÿ 1, ãë. 6), ÷òî ïðè n = 3 ïî ñâîåìó èçè÷åñêîìó ñìûñ-
ëó ïîòåíöèàë äâîéíîãî ñëîÿ îïèñûâàåò êóëîíîâ ïîòåíöèàë, ñîçäàâàåìûé
â êàæäîé òî÷êå x ∈ R3 \ Γ ðàñïðåäåëåíèåì äèïîëåé, ñîñðåäîòî÷åííûõ ñ
ïëîòíîñòüþ µ è îñüþ ny íà Γ.
   Âûÿñíèì õàðàêòåð ïîâåäåíèÿ óíêöèè u(x) ïðè ïåðåõîäå òî÷êè x èç Ω
â Ωe = Rn \ Ω. àññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ,
êîãäà îðìóëà (2.1) ïðèíèìàåò âèä

                     E2(x, y)         1         ∂      1
              Z                         Z
      u(x) = µ(y)             dσy =       µ(y)     ln      dσy .    (2.4)
                       ∂ny           2π        ∂ny |x − y|
             Γ                            Γ



                                    163

Страницы