Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 161 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

′
Γ ∈ C
2,α
0 <
α < 1
u
+
∈ C
2,α
(Ω) u
−
∈ C
2,α
(Ω
e
)
Ω
′
= Ω
kuk
C
2,α
(
Ω)
≤ Ckρk
C
α
(Ω)
.
Γ u
x ∈ Γ
Γ R
n
u
Γ
˜
Ω
Ω ρ Ω
u(x) =
Z
˜
Ω
E
n
(x, y)˜ρ(y)dy .
˜ρ
˜ρ(x) = ρ(x), x ∈ Ω ˜ρ(x) = 0, x ∈
˜
Ω\Ω.
(
˜
Ω, ˜ρ)
′
u|
˜
Ω
∈ C
2
(
˜
Ω)
u ∈ C
∞
(Ω
e
) u ∈ C
2
(R
n
)
C
l,α
(Ω)
˙
C
l,α
(Ω) = {ρ ∈ C
l,α
(Ω) : ˜ρ ∈ C
l,α
(R
n
)}, l ∈ N, 0 < α < 1,
˙
C
α
(Ω) =
˙
C
0,α
(Ω).
ρ ∈
˙
C
α
(Ω)
u C
2,α
(R
n
)
Ω
′
⊂ R
n
kuk
C
2,α
(
Ω
′
)
≤ Ckρk
C
α
(Ω)
.
C Ω
′
, n α
′
˜ρ
ρ(x) x → x
0
∈ Γ
ρ(x) x → x
0
∈ Γ
   Ëåììà 1.4.   Ïóñòü â äîïîëíåíèå ê óñëîâèÿì (i), (iii′ ) Γ ∈ C 2,α, 0 <
α < 1. Òîãäà u+ ∈ C 2,α(Ω), u− ∈ C 2,α(Ωe ), à îöåíêà (1.30) ñïðàâåäëèâà ïðè
Ω′ = Ω, ò. å. ïðèíèìàåò âèä
                             kukC 2,α (Ω) ≤ CkρkC α(Ω) .                     (1.31)

   Èç ëåììû 1.4 âûòåêàåò, ÷òî â ñëó÷àå ãëàäêîé ãðàíèöû Γ ïîòåíöèàë u
îáëàäàåò â òî÷êàõ x ∈ Γ îäíîñòîðîííèìè âòîðûìè ïðîèçâîäíûìè êàê èç-
íóòðè, òàê è èçâíå, íî íå âûòåêàåò, ÷òî ýòè ïðîèçâîäíûå ñîâïàäàþò â òî÷êàõ
Γ, îáðàçóÿ òåì ñàìûì íåïðåðûâíûå â Rn óíêöèè. Åñòåñòâåííî, âîçíèêà-
åò âîïðîñ î íåïðåðûâíîñòè âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ ïîòåíöèàëà u â òî÷êàõ
ãðàíèöû Γ. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ýòîãî âîïðîñà ðàññìîòðèì îáëàñòü Ω̃, öåëè-
êîì ñîäåðæàùóþ âíóòðè ñåáÿ Ω, è, ïðîäîëæèâ ïëîòíîñòü ρ íóëåì âíå Ω,
çàïèøåì ïîòåíöèàë (1.4) â âèäå
                                 Z
                          u(x) =    En (x, y)ρ̃(y)dy.                (1.32)
                                     Ω̃

Çäåñü óíêöèÿ ρ̃ îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé

                   ρ̃(x) = ρ(x), x ∈ Ω è ρ̃(x) = 0, x ∈ Ω̃\Ω.                (1.33)

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïàðà (Ω̃, ρ̃) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì (i), (iii) èëè (i),
(iii′). Òîãäà, ïðèìåíÿÿ ê ïîòåíöèàëó (1.32) òåîðåìó 1.1 ëèáî ëåììó 1.4,
ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå u|Ω̃ ∈ C 2 (Ω̃). Ýòî óñëîâèå âìåñòå
ñ óñëîâèåì u ∈ C ∞ (Ωe) ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä, ÷òî u ∈ C 2 (Rn ), ò. å.
÷òî ïîòåíöèàë îáëàäàåò â ýòîì ñëó÷àå ñâîéñòâîì ãëîáàëüíîé äâóõêðàòíîé
íåïðåðûâíîé äèåðåíöèðóåìîñòè.
    ×òîáû ñîðìóëèðîâàòü ñîîòâåòñòâóþùèé ðåçóëüòàò, ââåäåì â ðàññìîò-
ðåíèå ñëåäóþùåå ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà C l,α (Ω):

Ċ l,α(Ω) = {ρ ∈ C l,α(Ω) : ρ̃ ∈ C l,α(Rn )}, l ∈ N, 0 < α < 1, Ċ α (Ω) = Ċ 0,α(Ω).
Òîãäà èç ïðåäûäóùèõ ðàññóæäåíèé âûòåêàåò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
   Ëåììà 1.5. Ïóñòü ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (i) ρ ∈ Ċ α (Ω). Òîãäà îáú-
åìíûé ïîòåíöèàë u ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó C 2,α (Rn ) è äëÿ ëþáî-
ãî îãðàíè÷åííîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà Ω′ ⊂ Rn ñïðàâåäëèâà àïðèîðíàÿ
îöåíêà
                       kukC 2,α (Ω′ ) ≤ CkρkC α (Ω) .            (1.34)
Çäåñü C  êîíñòàíòà, çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò äèàìåòðà ìíîæåñòâà Ω′, n è α.
  ßñíî, ÷òî âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (iii) ëèáî (iii′) äëÿ óíêöèè ρ̃ äèêòóåò
îïðåäåëåííûå óñëîâèÿ íà ïîâåäåíèå ρ(x) ïðè x → x0 ∈ Γ.  ÷àñòíîñòè,
óíêöèÿ ρ(x) íåîáõîäèìî äîëæíà ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ ïðè x → x0 ∈ Γ.

                                          161

Страницы