Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 159 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x 6= y ∈ Ω
R
(i), (ii)
u = Aρ C
1
(R
n
) n ≥
3
Ω
e
Ω Ω
e
(iii)
u Ω C
2
(Ω)
x ∈ Ω
u Ω
f : Ω ⊂ R
n
→ R
Ω α > 0
L x ∈ Ω y ∈ Ω
|f(x) − f(y)| ≤ L|x − y|
α
C
α
(Ω)
Ω α ∈ (0, 1]
f ∈ C
α
(Ω) Ω C
α
(Ω) ⊂ C(Ω)
f ∈ C
α
(Ω)
kfk
C
α
(
Ω)
= kf k
C(Ω)
+ kfk
H
α
(Ω)
≡ kf k
C(Ω)
+ sup
x,y∈
Ω
x6=y
|f(x) − f(y)|
|x − y|
α
.
C
α
(Ω)
C
m,α
(Ω) C
m
(Ω)
Ω m
Ω α C
m,α
(Ω)
k · k
C
m,α
(
Ω)
kfk
C
m,α
(
Ω)
= kf k
C
m
(Ω)
+
X
|α|=m
∂
α
f
∂x
α
1
1
...∂x
α
n
n
H
α
(
Ω)
.
C
m,α
(Ω)
C
m,α
(Ω) C
m
(Ω)
ïîñêîëüêó x 6= y ∈ ΩR , à äëÿ âòîðîãî ñëàãàåìîãî ìîæíî ïðèìåíèòü ïðèâå-
äåííûå âûøå ðàññóæäåíèÿ. Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû â âèäå
òåîðåìû.
   Òåîðåìà 1.1. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (i), (ii). Òîãäà îáúåìíûé
ïîòåíöèàë u = Aρ ïðèíàäëåæèò êëàññó C 1 (Rn ), óäîâëåòâîðÿåò ïðè n ≥
3 óñëîâèþ (1.6) íà áåñêîíå÷íîñòè, à åãî ñóæåíèå íà âíåøíîñòü Ωe ìíîæå-
ñòâà Ω ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â Ωe óíêöèåé, óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâ-
íåíèþ Ëàïëàñà. Åñëè, áîëåå òîãî, âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (iii), òî òîãäà
ñóæåíèå ïîòåíöèàëà u íà îáëàñòü Ω ïðèíàäëåæèò êëàññó C 2 (Ω) è óäî-
âëåòâîðÿåò â êàæäîé òî÷êå x ∈ Ω óðàâíåíèþ Ïóàññîíà (1.21).
  1.3. Îáçîð äîïîëíèòåëüíûõ ñâîéñòâ îáúåìíîãî ïîòåíöèàëà. Ýë-
ëèïòè÷åñêàÿ ðåãóëÿðíîñòü.          Ïðèâåäåì çäåñü îáçîð íåêîòîðûõ äîïîëíè-
òåëüíûõ ñâîéñòâ îáúåìíîãî ïîòåíöèàëà. Íà÷íåì ñ òîãî, ÷òî óñëîâèå (iii),
áóäó÷è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì íåïðåðûâíîñòè âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ ïîòåí-
öèàëà u âíóòðè Ω, ìîæåò áûòü îñëàáëåíî. ×òîáû ñîðìóëèðîâàòü áîëåå
îáùåå óñëîâèå, ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ïðîñòðàíñòâî óíêöèé, óäîâëåòâî-
ðÿþùèõ óñëîâèþ åëüäåðà.
    Îïðåäåëåíèå 1.2.          îâîðÿò, ÷òî óíêöèÿ f : Ω ⊂ Rn → R óäî-
âëåòâîðÿåò â Ω óñëîâèþ åëüäåðà ñ ïîêàçàòåëåì α > 0 è êîíñòàíòîé
L, åñëè äëÿ ëþáîé ïàðû òî÷åê x ∈ Ω, y ∈ Ω âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
|f (x) − f (y)| ≤ L|x − y|α .
    Îáîçíà÷èì ÷åðåç C α (Ω) ìíîæåñòâî âñåõ óíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ
óñëîâèþ åëüäåðà â Ω ñ ïîêàçàòåëåì α ∈ (0, 1]. ßñíî, ÷òî êàæäàÿ óíêöèÿ
f ∈ C α (Ω) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé â Ω è, ñëåäîâàòåëüíî, C α (Ω) ⊂ C(Ω).
Äëÿ êàæäîé óíêöèè f ∈ C α (Ω) ââåäåì íîðìó ïî îðìóëå
                                                               |f (x) − f (y)|
   kf kC α (Ω) = kf kC(Ω) + kf kH α(Ω) ≡ kf kC(Ω) + sup                        .   (1.28)
                                                       x,y∈Ω       |x − y|α
                                                        x6=y



Èçâåñòíî, ÷òî ïðîñòðàíñòâî C α (Ω) ñ òàê ââåäåííîé íîðìîé ÿâëÿåòñÿ ïîë-
íûì íîðìèðîâàííûì, ò. å. áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì [28℄.
   ×åðåç C m,α (Ω) îáîçíà÷èì ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà C m (Ω), ñîñòî-
ÿùåå èç óíêöèé â Ω, âñå m-ûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå êîòîðûõ óäîâëåòâî-
ðÿþò óñëîâèþ åëüäåðà â Ω ñ ïîêàçàòåëåì α. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî C m,α (Ω)
- áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî ïî íîðìå k · kC m,α (Ω) , îïðåäåëåííîé îðìóëîé
                                           X            ∂ αf
             kf kC m,α(Ω) = kf kC m(Ω) +                                       .   (1.29)
                                                   ∂xα1 1 ...∂xαnn   H α (Ω)
                                           |α|=m

  Íàðÿäó ñ ïðîñòðàíñòâîì C m,α (Ω) áóäåì òàêæå ðàññìàòðèâàòü åãî íàä-
ïðîñòðàíñòâî C m,α (Ω). Îíî ñîñòîèò èç âñåõ óíêöèé ïðîñòðàíñòâà C m(Ω),

                                       159

Страницы