Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 157 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

∂u(x)
∂x
i
=
Z
Ω
′
E
n
(x, y)
∂ρ(y)
∂y
i
dy −
−
Z
Γ
′
E
n
(x, y)ρ(y)cos(n
′
y
, y
i
)dσ
′
y
−
Z
Ω\Ω
′
∂
∂y
i
E
n
(x, y)ρ(y)dy.
dσ
′
y
Γ
′
n
′
y
Γ
′
y ∈ Γ
′
x ∈ Ω
′
x
x ∈ Ω
′
u ∈ C
2
(Ω
′
)
Ω
′
Ω
u ∈ C
2
(Ω)
∂
2
u/∂x
2
i
Γ Ω
u 6∈ C
2
(Ω)
∆u(x) = −ρ(x)
x ∈ Ω
Γ Ω
i E ≡ E
3
∆u(x) = −
Z
Ω
3
X
i=1
∂ρ(y)
∂y
i
∂E(x, y )
∂y
i
dy +
Z
Γ
3
X
i=1
∂E(x, y )
∂y
i
ρ(y)cos(n
y
, y
i
)dσ
y
=
= −lim
ε→0
Z
Ω
ε
3
X
i=1
∂ρ(y)
∂y
i
∂E(x, y )
∂y
i
dy +
Z
Γ
∂E(x, y )
∂n
y
ρ(y)dσ
y
.
Ω
ε
≡ Ω
ε
(x) = {y ∈ Ω : |y − x| > ε} = Ω \ B
ε
(x)
E ∆
y
E(x, y ) = 0 ∀y ∈ Ω
ε
(x)
3
X
i=1
∂ρ
∂y
i
∂E
∂y
i
=
3
X
i=1
∂
∂y
i
ρ
∂E
∂y
i
Ω
ε
(x).
Ïðèìåíÿÿ ê ïåðâîìó èíòåãðàëó â ïðàâîé ÷àñòè îðìóëó (2.4) ãë. 6, ïîëó-
÷èì

    ∂u(x)                         ∂ρ(y)
                Z
          =           En (x, y)         dy −
     ∂xi                           ∂yi
                Ω′
                                                                   ∂
                Z                                             Z
            −         En (x, y)ρ(y)cos(n′y , yi)dσy′      −           En(x, y)ρ(y)dy.(1.20)
                                                                  ∂yi
                Γ′                                        Ω\Ω′

Çäåñü dσy′  ýëåìåíò ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè Γ′ , n′y  åäèíè÷íûé âåêòîð âíåø-
íåé íîðìàëè ê Γ′ â òî÷êå y ∈ Γ′ . Íåïðåðûâíàÿ äèåðåíöèðóåìîñòü ïåð-
âûõ äâóõ ñëàãàåìûõ â (1.20) ïðè x ∈ Ω′ äîêàçûâàåòñÿ òî÷íî òàê æå, êàê
íåïðåðûâíàÿ äèåðåíöèðóåìîñòü îáîèõ ñëàãàåìûõ â (1.17). ×òî êàñàåòñÿ
òðåòüåãî ñëàãàåìîãî, òî îíî ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìîé ïî x
óíêöèåé, ïîñêîëüêó x ∈ Ω′ . Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî u ∈ C 2 (Ω′). Ïîñêîëüêó
Ω′ ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíîé ïîäîáëàñòüþ îáëàñòè Ω, òî ïîñëåäíåå îçíà÷àåò,
÷òî íà ñàìîì äåëå u ∈ C 2 (Ω).
    Çàìå÷àíèå 1.1. Îòìåòèì, ÷òî óíêöèè ∂ 2 u/∂x2i â îáùåì ñëó÷àå íå
îïðåäåëåíû â òî÷êàõ ãðàíèöû Γ ìíîæåñòâà Ω. Ïîýòîìó, âîîáùå ãîâîðÿ,
u 6∈ C 2(Ω).
    Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî îáúåìíûé ïîòåíöèàë (1.4) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíå-
íèþ Ïóàññîíà
                              ∆u(x) = −ρ(x)                          (1.21)
â êàæäîé òî÷êå x ∈ Ω. Îïÿòü äëÿ ïðîñòîòû è íàãëÿäíîñòè èçëîæåíèÿ áó-
äåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé òðåõ èçìåðåíèé. Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî ãðà-
íèöà Γ îáëàñòè Ω óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (iv), òàê ÷òî âûïîëíÿåòñÿ (1.19).
   Ñóììèðóÿ ñîîòíîøåíèÿ â (1.19) ïî èíäåêñó i îò 1 äî 3 è ïîëàãàÿ E ≡ E3 ,
èìååì ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ ñõîäÿùåãîñÿ íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà, ÷òî
               3                        3
                 ∂ρ(y) ∂E(x, y)            ∂E(x, y)
           Z X                       Z X
 ∆u(x) = −                      dy +                 ρ(y)cos(ny , yi)dσy =
                i=1
                   ∂yi    ∂yi                 ∂yi   i=1
            Ω                                   Γ

                  3
                     ∂ρ(y) ∂E(x, y)        ∂E(x, y)
               Z X                       Z
       = − lim                      dy +            ρ(y)dσy .                        (1.22)
           ε→0
                 i=1
                      ∂yi    ∂yi             ∂n y
                Ωε                                  Γ

Çäåñü Ωε ≡ Ωε(x) = {y ∈ Ω : |y − x| > ε} = Ω \ B ε (x). Òàê êàê â ñèëó
ñâîéñòâ ñèíãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ E èìååì ∆y E(x, y) = 0 ∀y ∈ Ωε (x), òî
                      3             3             
                     X   ∂ρ ∂E X ∂             ∂E
                                 =           ρ       â Ωε(x).                        (1.23)
                     i=1
                         ∂yi ∂yi   i=1
                                       ∂yi     ∂yi


                                          157

Страницы