Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 155 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ε/3
δ = δ(ε)
xx
′
y x x
′
y
|x − y| |x
′
− y| |∆x
1
|
|x
′
− y| − |x − y| < |∆x
1
|.
|ab| ≤ 1/2(a
2
+ b
2
)
u
1
(x
′
) − u
1
(x)
∆x
1
=
1
4π|∆x
1
|
Z
B
δ
(x)∩Ω
|x
′
− y| − |x − y|
|x
′
− y||x − y|
ρ(y)dy
≤
≤
M
8π
Z
B
δ
(x)
1
|x
′
− y|
2
+
1
|x − y|
2
dy .
R
Ω
dy
|x−y|
2
ε/3
δ = δ(ε)
u
2
(x)
x
|∆x
1
| < δ
′
δ
′
u
2
(x
′
) − u
2
(x)
∆x
1
−
1
4π
Z
Ω\
B
δ
(x)
y
1
− x
1
|x − y|
3
ρ(y)dy
<
ε
3
.
|∆x
1
| |α| ≤ ε
i = 1
i = 2
x ∈ Ω
Ω u ∈ C
1
(Ω)
n
(i), (ii)
u = Aρ
R
n
ρ
Ω Ω
ρ ∈ C(Ω) ∩ C
1
(Ω) |∇ρ| ≤ M
1
< ∞ Ω
ãë. 6, ÷òî âòîðîå ñëàãàåìîå â (1.14) ìîæåò áûòü ñäåëàíî ìåíüøå ε/3 çà ñ÷åò
âûáîðà äîñòàòî÷íî ìàëîãî ÷èñëà δ = δ(ε). Äëÿ îöåíêè ïåðâîãî ñëàãàåìîãî
ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèê xx′ y ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ x, x′ , y. Ïîñêîëüêó
ñòîðîíû ýòîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû |x − y|, |x′ − y| è |∆x1 |, òî, î÷åâèä-
íî, èìååì |x′ − y| − |x − y| < |∆x1 |. Èñïîëüçóÿ ýòó îöåíêó è èçâåñòíîå
íåðàâåíñòâî |ab| ≤ 1/2(a2 + b2 ), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé îöåíêå

       u1(x′ ) − u1(x)      1                        |x′ − y| − |x − y|
                                            Z
                       =                                                ρ(y)dy ≤
             ∆x1         4π|∆x1|                       |x′ − y||x − y|
                                         Bδ (x)∩Ω
                                                             
                     M                     1         1
                            Z
                   ≤                     ′    2
                                                +                 dy.              (1.15)
                     8π                |x − y|    |x − y|2
                          Bδ (x)
                                             R dy
 ñèëó ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà Ω |x−y|     2 , âûòåêàþùåé èç òîé æå

ëåììû 1.4, ïðàâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà (1.15) ìîæåò áûòü ñäåëàíà ìåíüøå ε/3
çà ñ÷åò âûáîðà äîñòàòî÷íî ìàëîãî ÷èñëà δ = δ(ε).
   Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê òðåòüåìó ñëàãàåìîìó â (1.14). Ïîñêîëüêó u2 (x) ïðåä-
ñòàâëÿåò ñîáîé ñîáñòâåííûé èíòåãðàë â ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x, òî åãî
ìîæíî äèåðåíöèðîâàòü ïîä çíàêîì èíòåãðàëà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè
|∆x1| < δ ′ , ãäå δ ′ äîñòàòî÷íî ìàëî, âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå

              u2 (x′) − u2(x)    1                    y1 − x1          ε
                                            Z
                              −                               ρ(y)dy <   .         (1.16)
                    ∆x1         4π                   |x − y|3          3
                                         Ω\B δ (x)

Ñ ó÷åòîì ïðåäûäóùåãî ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ
|∆x1| âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå |α| ≤ ε. Ýòî îçíà÷àåò ñïðàâåäëèâîñòü (1.11)
ïðè i = 1. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà (1.11) ïðè
i = 2 è 3.
   Ïîñêîëüêó ïðàâàÿ ÷àñòü â (1.11), áóäó÷è ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìñÿ èíòå-
ãðàëîì â êàæäîé òî÷êå x ∈ Ω â ñèëó ëåììû 1.4 ãë. 6, ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé
íà Ω, òî èç (1.11) âûòåêàåò, ÷òî u ∈ C 1 (Ω). Îáîáùàÿ ïîëó÷åííûå ðåçóëüòà-
òû íà ñëó÷àé n èçìåðåíèé, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó óòâåðæäåíèþ.
   Ëåììà 1.1. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (i), (ii). Òîãäà îáúåìíûé ïî-
òåíöèàë u = Aρ ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìîé óíêöèåé â ïðî-
ñòðàíñòâå Rn , è âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ (1.10).
  1.2. Ñóùåñòâîâàíèå ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà îò îáúåìíî-
ãî ïîòåíöèàëà.     Ïðåäïîëîæèì â äîïîëíåíèå ê (i), (ii), ÷òî ρ íåïðåðûâíà
â Ω è èìååò íåïðåðûâíûå îãðàíè÷åííûå â Ω ïðîèçâîäíûå, ò. å. ÷òî
   (iii) ρ ∈ C(Ω) ∩ C 1 (Ω), |∇ρ| ≤ M1 < ∞ â Ω.

                                            155

Страницы