Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 153 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

E
n
n ≥ 3
u(x) |x| → ∞ O(|x|
2−n
)
|u(x)| ≤
C
|x|
n−2
|x| → ∞,
C u Ω n = 2
u(x) =
1
2π
Z
Ω
ln
1
|x − y|
ρ(y)dy = −
1
2π
Z
Ω
ln|x −y|ρ(y)dy
u(x) = −
ln|x|
2π
Z
Ω
ρ(y)dy +
1
2π
Z
Ω
ln
|x|
|x − y|
ρ(y)dy.
ln
|x|
|x − y|
→ 0
x → ∞
y ∈ Ω
|x| → ∞
x → ∞
(Ω, ρ) R
2
|x| → ∞ ρ
Z
Ω
ρ(y)dy = 0.
u(x)
|x| → ∞
u
R
n
R
n
u Ω
e
x ∈ Ω
n
u
R
n
x
i
x ∈
R
n
x
i
∂u(x)
∂x
i
=
Z
Ω
∂
∂x
i
E
n
(x, y)ρ(y)dy, x ∈ R
n
, i = 1, 2, ..., n.
Èç (1.4) è ñâîéñòâ ñèíãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ En âûòåêàåò òàêæå, ÷òî ïðè n ≥ 3
ïîòåíöèàë u(x) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè |x| → ∞ ñ ïîðÿäêîì O(|x|2−n ), ò. å.
                                       C
                        |u(x)| ≤            ïðè |x| → ∞,                  (1.6)
                                     |x|n−2
ãäå C  êîíñòàíòà, çàâèñÿùàÿ îò u è Ω.  ñëó÷àå æå n = 2 îðìóëà (1.4)
ïðèíèìàåò âèä
                 1          1                1
                    Z                          Z
         u(x) =       ln         ρ(y)dy = −      ln|x − y|ρ(y)dy
                2π       |x − y|            2π
                    Ω                               Ω
èëè
                     ln|x|                 1              |x|
                             Z                 Z
            u(x) = −             ρ(y)dy +          ln           ρ(y)dy.   (1.7)
                      2π                  2π            |x − y|
                             Ω                 Ω
Ïîñêîëüêó
                          |x|
                        ln      → 0 ïðè x → ∞                     (1.8)
                        |x − y|
ðàâíîìåðíî ïî y ∈ Ω, òî âòîðîå ñëàãàåìîå â (1.7) ðàâíîìåðíî ñòðåìèòñÿ
ê íóëþ ïðè |x| → ∞. Â òî æå âðåìÿ ïåðâîå ñëàãàåìîå èìååò ëîãàðè-
ìè÷åñêóþ îñîáåííîñòü ïðè x → ∞. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ëîãàðèìè÷å-
ñêèé ïîòåíöèàë ïàðû (Ω, ρ) â R2 èìååò ëîãàðèìè÷åñêóþ îñîáåííîñòü ïðè
|x| → ∞, èñêëþ÷àÿ ñëó÷àé, êîãäà åãî ïëîòíîñòü ρ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
                             Z
                                ρ(y)dy = 0.                       (1.9)
                                 Ω

Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (1.9) ëîãàðèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë u(x) ðàâíîìåð-
íî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè |x| → ∞.
   Óñòàíîâèì åùå ðÿä äîïîëíèòåëüíûõ ñâîéñòâ îáúåìíîãî ïîòåíöèàëà ïðè
âûïîëíåíèè óñëîâèé (i), (ii). Ïðåæäå âñåãî îòìåòèì, ÷òî ïîòåíöèàë u ÿâëÿ-
åòñÿ íåïðåðûâíîé óíêöèåé âñþäó â Rn . (Íà ýòî ñâîéñòâî áóäåì ññûëàòüñÿ
êàê íà ñâîéñòâî ãëîáàëüíîé íåïðåðûâíîñòè ïîòåíöèàëà â Rn ). Äåéñòâèòåëü-
íî, íåïðåðûâíîñòü u â òî÷êàõ Ωe î÷åâèäíà, à â òî÷êàõ x ∈ Ω îíà âûòåêàåò
èç n-ìåðíîãî àíàëîãà òåîðåìû 1.2 ãë. 6, ïðèìåíåííîé ê óíêöèè (1.4).
   Ïîêàæåì, áîëåå òîãî, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i), (ii) ïîòåíöèàë
u ÿâëÿåòñÿ íå òîëüêî íåïðåðûâíîé, íî è íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìîé
óíêöèåé â ïðîñòðàíñòâå Rn , ïðè÷åì ïðîèçâîäíûå ïî xi â ëþáîé òî÷êå x ∈
Rn ïîëó÷àþòñÿ äèåðåíöèðîâàíèåì â (1.4) ïî ïàðàìåòðó xi ïîä çíàêîì
èíòåãðàëà, òàê ÷òî ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îðìóëà
        ∂u(x)        ∂
                 Z
              =         En (x, y)ρ(y)dy, x ∈ Rn , i = 1, 2, ..., n. (1.10)
         ∂xi        ∂xi
                Ω

                                        153

Страницы