Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 152 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

R
n
E
n
(·, y) R
n
E
n
(x, y) =
1
ω
n
|x − y|
n−2
n ≥ 3
E
2
(x, y) =
1
2π
ln
1
|x − y|
= −
1
2π
ln |x − y|
n = 2.
ω
n
R
n
ω
n
= 4π
n = 3
E
3
(x, y) =
1
4π|x − y|
.
∂
∂x
i
E
n
(x, y) = −
∂
∂y
i
E
n
(x, y), ∇
x
E
n
(x, y) = −∇
y
E
n
(x, y).
(Ω, ρ) Ω R
n
Γ ρ
Ω
Ω R
n
ρ Ω |ρ(y)| ≤ M ∀y ∈ Ω
n = 2
(Ω, ρ) u : R
n
→ R
x ∈ R
n
u(x) = [Aρ](x) ≡
Z
Ω
E
n
(x, y)ρ(y)dy.
x ∈ Ω
e
Ω
e
≡ R
n
\Ω Ω
x ∈ Ω E
n
(·, y) x 6= y
R
n
\{y} u
Ω
e
Ω
e
∆u = 0.
       ËÀÂÀ 7. Ýëåìåíòû òåîðèè ïîòåíöèàëà

          Ÿ1. Îáúåìíûå ïîòåíöèàëû è èõ ñâîéñòâà

    1.1. Îïðåäåëåíèå îáúåìíîãî ïîòåíöèàëà. Íåïðåðûâíàÿ äèå-
ðåíöèðóåìîñòü îáúåìíîãî ïîòåíöèàëà â ïðîñòðàíñòâå         Rn . Îáîçíà-
÷èì ÷åðåç En(·, y) ñèíãóëÿðíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà â Rn , îïðåäå-
ëÿåìîå îðìóëîé
                                      1
                  En (x, y) =                 ïðè n ≥ 3              (1.1)
                                ωn |x − y|n−2
è
                      1       1          1
          E2(x, y) =    ln         = − ln |x − y| ïðè n = 2.
                     2π |x − y|         2π
Çäåñü ωn  ìåðà åäèíè÷íîé ñåðû â R (ñì. Ÿ 1 ãë. 6).  ÷àñòíîñòè, ωn = 4π
                                       n

ïðè n = 3, òàê ÷òî
                                           1
                           E3 (x, y) =           .                   (1.2)
                                       4π|x − y|
ßñíî, ÷òî
        ∂               ∂
           En(x, y) = − En (x, y), ∇xEn (x, y) = −∇y En (x, y).      (1.3)
       ∂xi             ∂yi
   Ââåäåì ïàðó (Ω, ρ), ãäå Ω  íåêîòîðîå ìíîæåñòâî â Rn ñ ãðàíèöåé Γ, à ρ
 çàäàííàÿ â Ω óíêöèÿ. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ:
   (i) Ω  îãðàíè÷åííîå îòêðûòîå(êóáèðóåìîå) ìíîæåñòâî â Rn ;
   (ii) ρ  îãðàíè÷åííàÿ èíòåãðèðóåìàÿ â Ω óíêöèÿ: |ρ(y)| ≤ M ∀y ∈ Ω.
   Îïðåäåëåíèå 1.1. Îáúåìíûì (ëîãàðèìè÷åñêèì ïðè n = 2) ïîòåíöè-
àëîì ïàðû (Ω, ρ) íàçûâàåòñÿ óíêöèÿ u : Rn → R, îïðåäåëÿåìàÿ â êàæäîé
òî÷êå x ∈ Rn îðìóëîé
                                     Z
                    u(x) = [Aρ](x) ≡ En(x, y)ρ(y)dy.                (1.4)
                                      Ω

   Èç ðåçóëüòàòî⠟ 1 ãë. 6 âûòåêàåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i), (ii)
îáúåìíûé ïîòåíöèàë (1.4) ñóùåñòâóåò êàê ñîáñòâåííûé èíòåãðàë â ëþáîé
òî÷êå x ∈ Ωe , ãäå Ωe ≡ Rn \Ω  âíåøíîñòü Ω, è êàê íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë
â ëþáîé òî÷êå x ∈ Ω. Áîëåå òîãî, òàê êàê óíêöèÿ En(·, y) ïðè âñåõ x 6= y
ÿâëÿåòñÿ âñþäó â Rn \{y} ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà, òî ïîòåíöèàë u
ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìîé è, áîëåå òîãî, àíàëèòè÷åñêîé â Ωe
óíêöèåé, óäîâëåòâîðÿþùåé â Ωe óðàâíåíèþ Ëàïëàñà
                                  ∆u = 0.                            (1.5)

                                     152

Страницы