Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 150 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

(0, 0) R x
K u
u(x) =
1
2π
Z
2π
0
u(R, ψ)
R
2
− ρ
2
R
2
+ ρ
2
− 2Rρ cos(ϕ −ψ)
dψ, ρ = |x|.
R − ρ
R + ρ
u(0, 0) ≤ u(x) ≤
R + ρ
R − ρ
u(0, 0).
R → ∞ u(0, 0) ≤ u(x) ≤ u(0, 0) ⇒ u(x) = u(0, 0)
u
R
2
u
x
0
x
0
u u
x
0
u
x
0
x
0
x
0
K R x
0
x
0
u
1
K u K
u − u
1
≡ v v K
x
0
∂K v
x
0
∈ K x
0
v(x
0
) ≡ 0
u(x
0
) = u
1
(x
0
)
v
ε
(x, x
0
) =
M ln(|x − x
0
|/R)
ln(ε/R)
.
M = sup
x∈K
|v(x)| ε x
0
K
ε
= { x ∈ K : ε < |x−x
0
|} v
ε
K
ε
K
ε
K
ε
ρ = R M ρ = ε v
∂K
ε
K
ε
|v(x)| ≤ v
ε
(x, x
0
).
v
ε
v
∂K
ε
K
ε
x
0
|v(x
0
)| ≤ v
ε
(x
0
, x
0
) = M
ln(|x
0
− x
0
|/R)
ln(ε/R)
.
íà÷àëå êîîðäèíàò (0, 0) òàêîãî áîëüøîãî ðàäèóñà R, ÷òîáû òî÷êà x ëåæà-
ëà âíóòðè íåãî. Ïðåäñòàâëÿÿ â K óíêöèþ u â âèäå èíòåãðàëà Ïóàññîíà
(4.31), áóäåì èìåòü
                   Z 2π
                 1                     R2 − ρ2
         u(x) =         u(R, ψ) 2                      dψ, ρ = |x|.
                2π 0           R + ρ2 − 2Rρ cos(ϕ − ψ)
Îòñþäà, ðàññóæäàÿ, êàê ïðè âûâîäå (6.10), âûâîäèì, ÷òî
                   R−ρ                  R+ρ
                       u(0, 0) ≤ u(x) ≤     u(0, 0).
                   R+ρ                  R−ρ
Ïðè R → ∞ ïîëó÷àåì, ÷òî u(0, 0) ≤ u(x) ≤ u(0, 0) ⇒ u(x) = u(0, 0) .
   Ñëåäñòâèå 6.1. Ôóíêöèÿ u, ÿâëÿþùàÿñÿ ãàðìîíè÷åñêîé íà âñåé ïëîñ-
êîñòè R2 , íåîáõîäèìî ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé.
   Òåîðåìà 6.7 (îá óñòðàíèìîé îñîáåííîñòè). Ïóñòü u - îãðàíè÷åííàÿ
óíêöèÿ, ãàðìîíè÷åñêàÿ â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , çà èñêëþ÷åíèåì ñàìîé
òî÷êè x0 , ãäå u íå îïðåäåëåíà. Òîãäà óíêöèþ u ìîæíî îïðåäåëèòü â
òî÷êå x0 òàê, ÷òîáû u áûëà ãàðìîíè÷åñêîé âî âñåé ðàññìàòðèâàåìîé
îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , â òîì ÷èñëå è â ñàìîé òî÷êå x0 .
   Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ïðîñòîòû îáîçíà÷åíèé ïðèìåì òî÷êó x0 çà íà-
÷àëî êîîðäèíàò. Ïóñòü K  êðóã ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â x0 , öåëèêîì ëå-
æàùèé âíóòðè ðàññìàòðèâàåìîé îêðåñòíîñòè x0 . Ïóñòü u1  ãàðìîíè÷å-
ñêàÿ âíóòðè K óíêöèÿ, êîòîðàÿ ñîâïàäàåò ñ u íà ãðàíèöå K . Ïîëîæèì
u − u1 ≡ v . Ôóíêöèÿ v îãðàíè÷åíà è ãàðìîíè÷íà âî âñåì êðóãå K , êðîìå
òî÷êè x0 , ãäå îíà íå îïðåäåëåíà. Íà îêðóæíîñòè ∂K óíêöèÿ v îáðàùàåòñÿ
â íóëü. Ïîêàæåì, ÷òî â ëþáîé òî÷êå x0 ∈ K , êðîìå òî÷êè x0 , v(x0 ) ≡ 0 è,
ñëåäîâàòåëüíî, u(x0 ) = u1 (x0 ). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî àêòà, ïîñòðîèì,
ñëåäóÿ ìåòîäó ãàðìîíè÷åñêèõ ìàæîðàíò, óíêöèþ
                                     M ln(|x − x0 |/R)
                      vε (x, x0) =                     .             (6.12)
                                         ln(ε/R)
Çäåñü M = supx∈K |v(x)|, ε  ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî òàêîå, ÷òî x0 ïðèíàäëå-
æèò êîëüöó Kε = {x ∈ K : ε < |x − x0 |}. ßñíî, ÷òî óíêöèÿ vε ãàðìîíè÷íà
â Kε è íåïðåðûâíà â çàìûêàíèè K ε . Êðîìå òîãî, îíà ïîëîæèòåëüíà â Kε,
ðàâíà íóëþ ïðè ρ = R è ðàâíà M ïðè ρ = ε. Èç ñâîéñòâ óíêöèè v âûòå-
êàåò, ÷òî íà ãðàíèöå ∂Kε êîëüöà Kε âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
                            |v(x)| ≤ vε(x, x0).                      (6.13)
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî vε ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé ìàæîðàíòîé óíêöèè v íà
∂Kε. Èç ñëåäñòâèÿ 3.5 âûòåêàåò òîãäà, ÷òî (6.13) âûïîëíÿåòñÿ â êàæäîé
òî÷êå êîëüöà Kε, â òîì ÷èñëå è â òî÷êå x0 , òàê ÷òî
                                            ln(|x0 − x0 |/R)
                 |v(x0)| ≤ vε(x0, x0) = M                    .       (6.14)
                                                ln(ε/R)
                                      150

Страницы