Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 149 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

K
i
Ω
0
Ω
Ω
0
Ω
M
γ > 0
Ω
0
Ω δ = γ/2
x
0
= (x
0
, y
0
) Ω
0
Ω
∂u
∂x
(x
0
) =
1
πδ
2
Z
K
∂u
∂x
dxdy =
4
πγ
2
Z
∂K
u cos(n, x)ds.
u n
∂K
∂u
∂x
(x
0
)
≤
4
πγ
2
M · πγ =
4M
γ
.
x
0
u
Ω
0
x
Ω
0
y
Ω
Ω
0
Ω
Ω
0
u ∈ C
2
(R
2
)
R
2
u u(x) ≥
m = const
x ∈ R
2
u
m ≥ 0 u
x = (x, y) u (0, 0)
u = const K
êàæäîì èç êðóãîâ Ki , à ñëåäîâàòåëüíî, è íà âñåì ìíîæåñòâå Ω0 .
   Ýòó òåîðåìó ÷àñòî íàçûâàþò âòîðîé òåîðåìîé àðíàêà.
   Òåîðåìà 6.4 (îá îöåíêàõ ïðîèçâîäíûõ ãàðìîíè÷åñêèõ óíêöèé). Ïóñòü
â îáëàñòè Ω çàäàíî ñåìåéñòâî ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííûõ ãàðìîíè÷åñêèõ
óíêöèé. Òîãäà â ëþáîé îáëàñòè Ω0 , ñîäåðæàùåéñÿ âìåñòå ñî ñâîåé ãðà-
íèöåé âíóòðè Ω, ïðîèçâîäíûå âñåõ óíêöèé ýòîãî ñåìåéñòâà ðàâíîìåðíî
îãðàíè÷åíû.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü M  âåðõíÿÿ ãðàíü ìîäóëåé óíêöèé ðàñ-
ñìàòðèâàåìîãî ñåìåéñòâà, à γ > 0 - íàèìåíüøåå ðàññòîÿíèå îò ãðàíèöû
îáëàñòè Ω0 äî ãðàíèöû Ω. Òîãäà êðóã ðàäèóñà δ = γ/2 ñ öåíòðîì â ïðîèç-
âîëüíîé òî÷êå x0 = (x0 , y0 ) îáëàñòè Ω0 öåëèêîì ëåæèò âíóòðè Ω.
   Òàê êàê ïðîèçâîäíàÿ ãàðìîíè÷åñêîé óíêöèè òàêæå ãàðìîíè÷íà, òî,
èñïîëüçóÿ îðìóëó î ñðåäíåì çíà÷åíèè â (3.16) è îðìóëó (2.4), èìååì
            ∂u          1       ∂u         4
                             Z                Z
               (x0) = 2            dxdy =         u cos(n, x)ds. (6.11)
            ∂x        πδ K ∂x             πγ 2 ∂K
Çäåñü u  ïðîèçâîëüíàÿ óíêöèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ñåìåéñòâà, n  âíåøíÿÿ
íîðìàëü ê ∂K . Èç (6.11) âûòåêàåò íåðàâåíñòâî
                      ∂u         4            4M
                         (x0) ≤      M · πγ =    .
                      ∂x        πγ 2           γ
Ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè òî÷êè x0 è óíêöèè u îòñþäà ñëåäóåò ðàâíîìåðíàÿ
îãðàíè÷åííîñòü â Ω0 ïðîèçâîäíûõ ïî x îò âñåõ óíêöèé ñåìåéñòâà. Àíàëî-
ãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíàÿ îãðàíè÷åííîñòü â Ω0 èõ ïðîèçâîäíûõ ïî
y.
   Òåîðåìà 6.5 (î êîìïàêòíîñòè ñåìåéñòâà ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííûõ ãàð-
ìîíè÷åñêèõ óíêöèé). Èç ëþáîãî áåñêîíå÷íîãî ñåìåéñòâà ãàðìîíè÷åñêèõ
óíêöèé, ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííûõ â îáëàñòè Ω, ìîæíî âûäåëèòü áåñêî-
íå÷íóþ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ðàâíîìåðíî ñõîäÿùóþñÿ â ëþáîé îãðàíè-
÷åííîé îáëàñòè Ω0 , ñîäåðæàùåéñÿ âìåñòå ñ ãðàíèöåé âíóòðè Ω.
   Ýòî óòâåðæäåíèå âûòåêàåò èç òåîðåìû Àðöåëà, òàê êàê, âñëåäñòâèå òåî-
ðåìû 6.4 âñå óíêöèè ñåìåéñòâà â Ω0 ÿâëÿþòñÿ ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâ-
íûìè.
   Òåîðåìà 6.6. (Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ). Ôóíêöèÿ u ∈ C 2 (R2 ), óäîâëåòâî-
ðÿþùàÿ óðàâíåíèþ Ëàïëàñà íà âñåé ïëîñêîñòè R2 , íå ìîæåò áûòü îãðà-
íè÷åííîé ñâåðõó èëè ñíèçó, åñëè îíà íå ïîñòîÿííà.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî u îãðàíè÷åíà ñíèçó, ò. å. u(x) ≥
m = const äëÿ âñåõ x ∈ R2 . Äîáàâëÿÿ ïðè íåîáõîäèìîñòè ê óíêöèè u
ïîñòîÿííóþ, ìû âñåãäà ìîæåì äîñòèãíóòü òîãî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëî-
âèå m ≥ 0. Ó÷èòûâàÿ ýòî óñëîâèå, ïîêàæåì, ÷òî çíà÷åíèå u â ëþáîé òî÷êå
x = (x, y) â òî÷íîñòè ðàâíî çíà÷åíèþ u â íà÷àëå êîîðäèíàò (0, 0). Òåì ñà-
ìûì áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî u = const. Âîçüìåì äëÿ ýòîãî êðóã K ñ öåíòðîì â

                                   149

Страницы