Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 147 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x
0
= (x
0
, y
0
) ∈ Ω
K x
0
a Ω u
n
Ω
K
u
n
(x) =
1
2πa
Z
∂K
a
2
− ρ
2
r
2
u
n
(y)ds
y
.
Ω
u(x) =
1
2πa
Z
∂K
a
2
− ρ
2
r
2
u(y)ds
y
.
u|
∂K
∈ C(Γ) u
K
Ω
x
0
= (x
0
, y
0
) ∈ Ω n
u
n+1
(x) ≥ u
n
(x)
Ω
Ω u
Ω
K
0
R x
0
K
0
Ω u
n+p
− u
n
= v
n,p
p
v
n,p
≥ 0 K
0
K
∗
K
0
R + ε
Ω v
n,p
K
∗
v
n,p
(ρ, ϕ) =
1
2π
2π
Z
0
v
n,p
(R + ε, ψ)
(R + ε)
2
− ρ
2
(R + ε)
2
+ ρ
2
− 2(R + ε)ρcos(ϕ −ψ)
dψ.
−1 ≤ cos(ϕ − ψ) ≤ 1
R + ε − ρ
R + ε + ρ
≤
(R + ε)
2
− ρ
2
(R + ε)
2
+ ρ
2
− 2(R + ε)ρcos(ϕ − ψ)
≤
R + ε + ρ
R + ε − ρ
.
   Âîçüì¼ì äëÿ ýòîãî ëþáóþ òî÷êó x0 = (x0 , y0 ) ∈ Ω è ïîñòðîèì êðóã
K ñ öåíòðîì â x0 è ðàäèóñà a, ëåæàùèé öåëèêîì âíóòðè Ω. Òàê êàê un 
ãàðìîíè÷åñêèå óíêöèè â îáëàñòè Ω, òî êàæäóþ èç íèõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü
âíóòðè K ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Ïóàññîíà:
                                 Z 2
                              1    a − ρ2
                    un (x) =              un(y)dsy .             (6.6)
                             2πa     r2
                                        ∂K

 ñèëó äîêàçàííîé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (6.5) â Ω
â ðàâåíñòâå (6.6) ìîæíî ïåðåéòè ê ïðåäåëó â îáåèõ ÷àñòÿõ.  ðåçóëüòàòå
ïîëó÷èì                         Z 2
                             1     a − ρ2
                     u(x) =               u(y)dsy .               (6.7)
                            2πa      r2
                                        ∂K
Ïîñêîëüêó u|∂K ∈ C(Γ), òî îòñþäà ñëåäóåò â ñèëó òåîðåìû 4.3, ÷òî u åñòü
óíêöèÿ, ãàðìîíè÷åñêàÿ âíóòðè K .
   Òåîðåìà 6.3 (î ìîíîòîííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãàðìîíè÷åñêèõ óíê-
öèé). Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãàðìîíè÷åñêèõ â îáëàñòè Ω óíêöèé (6.5)
ñõîäèòñÿ â íåêîòîðîé âíóòðåííåé òî÷êå x0 = (x0 , y0 ) ∈ Ω è ïðè ëþáîì n
un+1(x) ≥ un (x) âî âñåõ òî÷êàõ îáëàñòè Ω, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (6.5)
âñþäó â Ω ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîé ãàðìîíè÷åñêîé óíêöèè u. Ïðè ýòîì âî
âñÿêîé çàìêíóòîé îãðàíè÷åííîé ÷àñòè îáëàñòè Ω ñõîäèìîñòü ðàâíîìåð-
íà.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (6.5) ñõî-
äèòñÿ ðàâíîìåðíî â ëþáîì êðóãå K0 ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â x0 , åñëè åãî
çàìûêàíèå K 0 ëåæèò âíóòðè Ω. Îöåíèì ðàçíîñòü un+p − un = vn,p, ãäå p
 ïðîèçâîëüíîå öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.  ñèëó ïðåäïîëîæåíèé òåî-
ðåìû vn,p ≥ 0. Âîçüìåì êîíöåíòðè÷åñêèé ñ K0 êðóã K ∗ , áîëüøåãî, ÷åì ó
K0, ðàäèóñà R + ε, íî âñå åùå ëåæàùèé âìåñòå ñî ñâîåé ãðàíèöåé âíóòðè
Ω. Ïðåäñòàâèì êàæäóþ èç óíêöèé vn,p â êðóãå K ∗ ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà
Ïóàññîíà (4.31) â âèäå
                    Z2π
                1                                   (R + ε)2 − ρ2
  vn,p(ρ, ϕ) =            vn,p(R + ε, ψ)                                     dψ.
               2π                        (R + ε)2 + ρ2 − 2(R + ε)ρcos(ϕ − ψ)
                    0
                                                                             (6.8)
Òàê êàê −1 ≤ cos(ϕ − ψ) ≤ 1, òî ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå

   R+ε−ρ              (R + ε)2 − ρ2              R+ε+ρ
         ≤                                     ≤       .                     (6.9)
   R+ε+ρ   (R + ε)2 + ρ2 − 2(R + ε)ρcos(ϕ − ψ)   R+ε−ρ



                                             147

Страницы