Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 145 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Γ Ω
R
Ω
fdx
Ω
Ω x ∈ Ω
f = 0
§4 K
K
Ω
R
2
Ω u
(x −
x
0
)(y − y
0
) x
0
= (x
0
, y
0
) ∈ Ω
K R x
0
Ω
x
0
= (0, 0)
R = 1
K u
u(x) =
a
0
2
+
∞
X
k=1
ρ
k
(a
k
cos kϕ + b
k
sin kϕ),
a
k
b
k
u
u K a
k
b
k
|a
k
| ≤ M, |b
k
| ≤ M k = 1, 2, ...
x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ i =
√
−1
(x+iy)
k
= [ρ(cos ϕ+i sin ϕ)]
k
= (ρ exp
iϕ
)
k
= ρ
k
exp
ikϕ
= ρ
k
(cos kϕ+i sin kϕ).
òåïëà,
    R âíîñèìîìó ÷åðåç ãðàíèöó Γ â îáëàñòü Ω â åäèíèöó âðåìåíè, òîãäà
êàê Ω f dx èìååò ñìûñë êîëè÷åñòâà òåïëà, âûðàáàòûâàåìîãî â Ω â åäèíè-
öó âðåìåíè âíåøíèìè èñòî÷íèêàìè òåïëà.  ñèëó çàêîíà ñîõðàíåíèÿ òåïëà
óêàçàííîå ñóììàðíîå òåïëî äîëæíî èäòè íà íàãðåâàíèå âåùåñòâà â îáëàñòè
Ω. Ïîñêîëüêó â êàæäîé òî÷êå x ∈ Ω òåìïåðàòóðà íå èçìåíÿåòñÿ ñ òå÷åíèåì
âðåìåíè â ñèëó ñòàöèîíàðíîñòè ïðîöåññà è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ïðîèñõîäèò
íàãðåâàíèÿ (ëèáî îõëàæäåíèÿ) âåùåñòâà, òî ýòî ñóììàðíîå òåïëî äîëæíî
îáðàùàòüñÿ â íóëü, ò. å. äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå (5.21) ëèáî (5.22),
åñëè f = 0.
   Ñëåäóåò, îäíàêî, îòìåòèòü, ÷òî ðåçóëüòàò î íåîáõîäèìîñòè óñëîâèÿ (5.21)
ëèáî (5.22) äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ íå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà âíåøíþþ
çàäà÷ó Íåéìàíà (ñì. îá ýòîì áîëåå ïîäðîáíî â [21, ñ. 267℄).

Ÿ6. Äîïîëíèòåëüíûå ñâîéñòâà ãàðìîíè÷åñêèõ óíêöèé

    ýòîì ïàðàãðàå ìû ïðèâåäåì ðÿä äîïîëíèòåëüíûõ ñâîéñòâ ãàðìîíè÷å-
ñêèõ óíêöèé. Äëÿ ïðîñòîòû è êîíêðåòíîñòè áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé
äâóõ èçìåðåíèé. Äîêàçàòåëüñòâî ïî÷òè âñåõ ýòèõ ñâîéñòâ áóäåò îñíîâû-
âàòüñÿ íà òîì àêòå (ñì. §4), ÷òî ëþáóþ ãàðìîíè÷åñêóþ â êðóãå K óíê-
öèþ, íåïðåðûâíóþ â çàìûêàíèè K , ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå èíòåãðàëà
Ïóàññîíà. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå ïðèâîäèìûõ íèæå óòâåðæäåíèé ìû áóäåì
ñëåäîâàòü êíèãå È. . Ïåòðîâñêîãî [41℄. Ïóñòü Ω - ïðîèçâîëüíàÿ îáëàñòü â
ïëîñêîñòè R2 .
   Òåîðåìà 6.1. Âñÿêàÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ â îáëàñòè Ω óíêöèÿ u àíàëè-
òè÷íà, ò.å. ðàçëàãàåòñÿ â ñõîäÿùèéñÿ ñòåïåííîé ðÿä ïî ñòåïåíÿì (x −
x0)(y − y0) â îêðåñòíîñòè ïðîèçâîëüíîé òî÷êè x0 = (x0, y0) ∈ Ω.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü K  êðóã ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â x0 , öåëèêîì
ëåæàùèé â Ω. Ñ ïîìîùüþ ïåðåíîñà íà÷àëà êîîðäèíàò è ïðåîáðàçîâàíèÿ
ïîäîáèÿ, ñîõðàíÿþùåãî ãàðìîíè÷íîñòü, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî x0 = (0, 0), à
R = 1.
   Èç ðåçóëüòàòîâ ï. 4.1. ñëåäóåò, ÷òî ãàðìîíè÷åñêàÿ â êðóãå K óíêöèÿ u
ïðåäñòàâèìà â âèäå
                                ∞
                         a0 X k
                  u(x) =   + ρ (ak cos kϕ + bk sin kϕ),                   (6.1)
                         2
                               k=1

ãäå êîýèöèåíòû ak è bk îïðåäåëÿþòñÿ ïî çíà÷åíèÿì óíêöèè u íà îêðóæ-
íîñòè ðàäèóñà 1. Èç íåïðåðûâíîñòè u â K ñëåäóåò, ÷òî êîýèöèåíòû ak
è bk ïî êðàéíåé ìåðå îãðàíè÷åíû: |ak | ≤ M, |bk | ≤ M äëÿ âñåõ√k = 1, 2, ... .
Ïîëàãàÿ x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ è ââîäÿ ìíèìóþ åäèíèöó i = −1, èìååì

(x+iy)k = [ρ(cos ϕ+i sin ϕ)]k = (ρ expiϕ )k = ρk expikϕ = ρk (cos kϕ+i sin kϕ).

                                      145

Страницы