Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 143 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u
1
u
2
Ω
R
= Ω
e
∩ B
R
u = u
2
− u
1
R → ∞
R
Ω
e
|∇u|
2
dx −
R
Γ
(∂u/∂n)udσ = 0
u = 0 Γ
1
∂u/∂n = −au Γ
2
Z
Ω
e
|∇u|
2
dx +
Z
Γ
2
au
2
dσ = 0.
a ≥ 0 Γ
2
|∇u| = 0 Ω
e
⇒ u =
u
0
= const
Ω
e
u
0
= 0 ⇒ u
1
= u
2
Γ = Γ
2
Γ
2
> 0
Γ
2
≥ 0
Γ
2
= 0
Γ = Γ
1
u(x) = O(1) |x| → ∞.
R
3
R
3
R
2
  Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàäà÷à (5.1), (5.3), (5.6) èìå-
åò äâà ðåøåíèÿ u1 è u2 . Ââåäåì, êàê â òåîðåìå 5.5, îãðàíè÷åííóþ îá-
ëàñòü ΩR = Ωe ∩ BR è çàìåòèì, ÷òî ðàçíîñòü u = u2 − u1 óäîâëåòâîðÿ-
åò ñîîòíîøåíèþ (5.12). Ïåðåéäåì â (5.12) ê ïðåäåëó ïðè R → ∞. àñ-
ñóæäàÿ,   êàê èRïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 5.5, ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèþ
 Ωe |∇u| dx − Γ (∂u/∂n)udσ = 0. Ïîñëåäíåå ñ ó÷åòîì óñëîâèé u = 0 íà Γ1 ,
        2
R

∂u/∂n = −au íà Γ2 ïðèíèìàåò âèä
                        Z            Z
                          |∇u| dx + au2dσ = 0.
                               2
                                                                  (5.18)
                      Ωe           Γ2

Ïîñêîëüêó a ≥ 0 íà Γ2 , òî èç (5.18) ïîëó÷àåì, ÷òî |∇u| = 0 â Ωe ⇒ u =
u0 = const íà Ωe. Èç óñëîâèÿ (5.3) ñëåäóåò, ÷òî u0 = 0 ⇒ u1 = u2.
   Çàìå÷àíèå 5.3. Òåîðåìà 5.7 ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì òåîðåìû 5.9,
îòâå÷àþùèì ñèòóàöèè Γ = Γ2 . Åñëè óñëîâèå measΓ2 > 0 çàìåíèòü óñëîâèåì
meas Γ2 ≥ 0, òî òîãäà óòâåðæäåíèå òåîðåìû 5.1 î åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ
âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå òàêæå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé
òåîðåìû 5.9, îòâå÷àþùèé ñèòóàöèè, êîãäà meas Γ2 = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî,
Γ = Γ1.
   Çàìå÷àíèå 5.4. Íåêîòîðûå èç äîêàçàííûõ âûøå òåîðåì åñòåñòâåííûì
îáðàçîì ïåðåíîñÿòñÿ íà êðàåâûå çàäà÷è äëÿ îáùèõ ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâ-
íåíèé âèäà (3.16) (ñì., íàïðèìåð, [58, ñ. 11-13℄). Áîëåå ñëîæíûì îáðàçîì
èññëåäóåòñÿ åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è ñîïðÿæåíèÿ äëÿ ýëëèïòè÷å-
ñêîãî óðàâíåíèÿ [58, ñ. 138-141℄.
  5.3. Êðàåâûå çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà íà ïëîñêîñòè.
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îðìóëèðóþòñÿ êðàåâûå çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàñ-
ñîíà â ñëó÷àå äâóõ èçìåðåíèé. Åäèíñòâåííîå îòëè÷èå ñîñòîèò â óñëîâèè ðå-
ãóëÿðíîñòè íà áåñêîíå÷íîñòè äëÿ âíåøíèõ êðàåâûõ çàäà÷, êîòîðîå âìåñòî
(5.3) èìååò âèä
                       u(x) = O(1) ïðè |x| → ∞.                   (5.19)
Ñ ó÷åòîì ýòîãî âñå ïðèâåäåííûå âûøå ðåçóëüòàòû, êàñàþùèåñÿ âíóòðåí-
íèõ çàäà÷ â R3 , íåïîñðåäñòâåííî ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ íà ñëó÷àé äâóõ èçìå-
ðåíèé. Â òî æå âðåìÿ, íå âñå ðåçóëüòàòû, êàñàþùèåñÿ âíåøíèõ êðàåâûõ
çàäà÷ â R3 , ïåðåíîñÿòñÿ íà äâóìåðíûé ñëó÷àé. Òàê, ðåøåíèå âíåøíåé çàäà-
÷è Íåéìàíà â R2 îïðåäåëÿåòñÿ, êàê è ðåøåíèå âíóòðåííåé êðàåâîé çàäà÷è,
ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîëüíîé êîíñòàíòû.  ýòîì ëåãêî óáåäèòüñÿ, ïðîàíà-
ëèçèðîâàâ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 5.5. ×òî êàñàåòñÿ âíåøíåé ñìåøàííîé
êðàåâîé çàäà÷è, òî óñëîâèÿ åäèíñòâåííîñòè åå ðåøåíèÿ ñîâïàäàþò ñ óñëî-
âèÿìè åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ âíóòðåííåé çàäà÷è, ïðèâåäåííûìè â òåîðå-
ìå 5.8. Äðóãèìè ñëîâàìè, ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, äîêàçàòåëüñòâî
êîòîðîé ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ÷èòàòåëþ.

                                  143

Страницы