Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 142 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u
0
= 0 =⇒ u
1
= u
2
a
a ∈ C(Γ) a ≥ 0 Γ u ∈ C
2
(Ω
e
)∩
C
1
(
Ω
e
)
Ω
e
meas Γ
1
> 0, a ∈ C(Γ
2
), a ≥ 0 Γ
2
meas Γ
1
≥ 0, a ∈ C(Γ
2
), a ≥ 0 Γ
2
,
R
Γ
2
adσ > 0
measΓ
2
> 0
(ii) (iii) u ∈ C
2
(Ω) ∩ C
1
(Ω)
u
1
u
2
u = u
2
−u
1
∆u = 0 Ω, u = 0 Γ
1
,
∂u
∂n
= −au
Γ
2
Z
Ω
|∇u|
2
dx +
Z
Γ
2
au
2
dσ = 0.
a ≥ 0 Γ
2
|∇u| = 0 Ω ⇒ u =
u
0
= const
Ω
u
2
0
Z
Γ
2
adσ = 0.
u = 0 Γ
1
u
0
= 0 u
1
= u
2
u
0
= 0 ⇒ u
1
= u
2
measΓ
2
> 0 a ∈ C(Γ
2
) a ≥ 0 Γ
2
u ∈ C
2
(Ω
e
) ∩ C
1
(Ω
e
)
Ω
e
 ñèëó ïîñëåäíåãî óñëîâèÿ â (i) èç (5.14) âûòåêàåò, ÷òî u0 = 0 =⇒ u1 = u2 .

   Àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìà (ïðè÷åì ïðè èñïîëüçîâàíèè äàæå ìåíåå æåñòêèõ
óñëîâèé íà êîýèöèåíò a) ñïðàâåäëèâà äëÿ âíåøíåé òðåòüåé êðàåâîé çà-
äà÷è.
   Òåîðåìà 5.7. Ïóñòü a ∈ C(Γ), a ≥ 0 íà Γ. Òîãäà ðåøåíèå u ∈ C 2 (Ωe )∩
C 1(Ωe ) âíåøíåé òðåòüåé êðàåâîé çàäà÷è (5.1), (5.3), (5.5) åäèíñòâåííî,
åñëè Ωe  ñâÿçíîå ìíîæåñòâî.
   Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 5.7 àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 5.9 (ñì.
íèæå).  çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì ñìåøàííóþ êðàåâóþ çàäà÷ó. Ïðåäïîëî-
æèì, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ îäíà èç ñëåäóþùèõ äâóõ ãðóïï óñëîâèé:
   (ii) meas Γ1 > 0, a ∈ C(Γ2), a ≥ 0 íà Γ2 , R
   (iii) meas Γ1 ≥ 0, a ∈ C(Γ2 ), a ≥ 0 íà Γ2 , Γ2 adσ > 0.
   Òåîðåìà 5.8. Ïóñòü measΓ2 > 0 è âûïîëíÿåòñÿ îäíà èç ãðóïï óñëîâèé
(ii) èëè (iii). Òîãäà ðåøåíèå u ∈ C 2(Ω) ∩ C 1(Ω) âíóòðåííåé ñìåøàííîé
çàäà÷è (5.1), (5.6) åäèíñòâåííî.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàäà÷à (5.1), (5.6) èìååò äâà ðå-
øåíèÿ: u1 è u2 . Òîãäà èõ ðàçíîñòü u = u2 − u1 óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ
(5.10), êîòîðîå ñ ó÷åòîì óñëîâèé
                                               ∂u
               ∆u = 0 â Ω, u = 0 íà Γ1 ,          = −au íà Γ2        (5.15)
                                               ∂n
ïåðåïèøåì â âèäå        Z               Z
                            |∇u|2dx +        au2dσ = 0.              (5.16)
                        Ω               Γ2

Ïîñêîëüêó a ≥ 0 íà Γ2 , òî èç (5.16) ïîëó÷àåì, ÷òî |∇u| = 0 â Ω ⇒ u =
u0 = const íà Ω. Ñ ó÷åòîì ýòîãî ñîîòíîøåíèå (5.16) ïðèíèìàåò âèä
                                 Z
                              u20 adσ = 0.                       (5.17)
                                 Γ2

Åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (ii), òî òîãäà â ñèëó óñëîâèÿ u = 0 íà Γ1 èìååì
u0 = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, u1 = u2. Åñëè æå âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (iii), òî
òîãäà èç (5.17) îïÿòü ïîëó÷àåì, ÷òî u0 = 0 ⇒ u1 = u2 .
   Àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìà (ïðè÷åì ïðè èñïîëüçîâàíèè äàæå ìåíåå æåñòêèõ
óñëîâèé íà èñõîäíûå äàííûå) ñïðàâåäëèâà äëÿ âíåøíåé ñìåøàííîé êðàåâîé
çàäà÷è (5.1), (5.3), (5.6).
   Òåîðåìà 5.9. Ïóñòü measΓ2 > 0, a ∈ C(Γ2), a ≥ 0 íà Γ2 . Òîãäà
ðåøåíèå u ∈ C 2 (Ωe) ∩ C 1 (Ωe ) âíåøíåé ñìåøàííîé êðàåâîé çàäà÷è (5.1),
(5.3), (5.6) åäèíñòâåííî, åñëè Ωe  ñâÿçíîå ìíîæåñòâî.


                                      142

Страницы