Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 140 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

v = u − ˜u
Ω Ω Γ |v| ≤ ε
u ˜u
C
2
(Ω
e
) ∩ C(Ω
e
)
|u(x) − ˜u(x)| ≤ ε Ω
e
.
u ∈ C
2
(Ω)∩C
1
(Ω)
u
1
u
2
u = u
2
− u
1
Ω C
1
(Ω) ∂u/∂n = 0 Γ
v = u
Z
Ω
|∇u|
2
dx = −
Z
Ω
∆u udx +
Z
Γ
∂u
∂n
udσ.
∆u = 0 Ω ∂u/∂n = 0 Γ
Z
Ω
|∇u|
2
dx ≡
Z
Ω
"
∂u
∂x
2
+
∂u
∂y
2
+
∂u
∂z
2
#
dx = 0 ⇒
∇u = 0
Ω ⇒ u = .
u ∈ C
2
(Ω
e
) ∩ C
1
(Ω
e
)
Ω
e
u
1
u
2
B
R
R Γ
R
Ω
Ω
R
Ω
R
= Ω
e
∩ B
R
= B
R
\ Ω
Ω
R
u = u
2
− u
1
, v = u ∂Ω
R
= Γ
R
∪ Γ ∆u = 0 Ω
R
  Äîêàçàòåëüñòâî. àçíîñòü      v = u − ũ åñòü óíêöèÿ, ãàðìîíè÷åñêàÿ
â Ω, íåïðåðûâíàÿ íà Ω è óäîâëåòâîðÿþùàÿ íà Γ óñëîâèþ |v| ≤ ε. Ïîýòîìó
íåðàâåíñòâî (5.9) î÷åâèäíûì îáðàçîì âûòåêàåò èç ñëåäñòâèÿ 3.5.
   Çàìå÷àíèå 5.2. Òåîðåìà 5.2 îçíà÷àåò íåïðåðûâíóþ çàâèñèìîñòü (èëè
óñòîé÷èâîñòü) ðåøåíèÿ âíóòðåííåé çàäà÷è Äèðèõëå îò ãðàíè÷íûõ äàííûõ
â ðàâíîìåðíîé ìåòðèêå.
   Àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìà ñïðàâåäëèâà è äëÿ âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå.
   Òåîðåìà 5.3. Ïóñòü u è ũ  ðåøåíèÿ âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå èç
ïðîñòðàíñòâà C 2 (Ωe) ∩ C(Ωe), îòâå÷àþùèå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (5.7) è
ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ (5.8). Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

                         |u(x) − ũ(x)| ≤ ε íà Ωe .
   Íåñêîëüêî äðóãàÿ ñèòóàöèÿ, ÷åì â òåîðåìå 5.1, èìååò ìåñòî äëÿ âíóò-
ðåííåé çàäà÷è Íåéìàíà.
   Òåîðåìà 5.4. åøåíèå u ∈ C 2 (Ω)∩C 1(Ω) âíóòðåííåé çàäà÷è Íåéìàíà
(5.1), (5.4) îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîëüíîé ïîñòîÿííîé.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàäà÷à (5.1), (5.4) èìååò äâà ðå-
øåíèÿ: u1 è u2 . Òîãäà èõ ðàçíîñòü u = u2 − u1 ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé
â Ω óíêöèåé êëàññà C 1 (Ω), óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ ∂u/∂n = 0 íà Γ.
Ïîëàãàÿ â îðìóëå ðèíà (2.5) v = u, ïîëó÷èì
                                               ∂u
                   Z             Z          Z
                     |∇u|2 dx = − ∆u udx +        udσ.           (5.10)
                                               ∂n
                 Ω                Ω             Γ

Ó÷èòûâàÿ óñëîâèÿ ∆u = 0 â Ω, ∂u/∂n = 0 íà Γ, èç (5.10) âûâîäèì, ÷òî
                   Z "  2  2   2 #
                         ∂u       ∂u       ∂u
       Z
         |∇u|2dx ≡            +        +            dx = 0 ⇒
                         ∂x       ∂y        ∂z
        Ω            Ω

                     ∇u = 0 â Ω ⇒ u =          onst.
    òî æå âðåìÿ ðåøåíèå âíåøíåé çàäà÷è Íåéìàíà åäèíñòâåííî.
   Òåîðåìà 5.5. åøåíèå u ∈ C 2 (Ωe ) ∩ C 1 (Ωe ) âíåøíåé çàäà÷è Íåéìàíà
(5.1), (5.3), (5.4) åäèíñòâåííî, åñëè Ωe  ñâÿçíîå ìíîæåñòâî.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàäà÷à (5.1), (5.3), (5.4) èìååò
äâà ðåøåíèÿ: u1 è u2 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç BR øàð äîñòàòî÷íî áîëüøîãî ðà-
äèóñà R ñ ãðàíèöåé ΓR , ñîäåðæàùèé îáëàñòü Ω âíóòðè ñåáÿ. Ââåäåì îãðà-
íè÷åííóþ îáëàñòü ΩR ïî îðìóëå
                         Ω R = Ω e ∩ BR = BR \ Ω                  (5.11)
è ïðèìåíèì â îáëàñòè ΩR îðìóëó ðèíà (2.5), ãäå, êàê è âûøå, ïîëîæèì
u = u2 − u1, v = u. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ∂ΩR = ΓR ∪ Γ, ∆u = 0 â ΩR , áóäåì

                                      140

Страницы