Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 138 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

g Γ
∆u = −f.
u ∈ C
2
(Ω)
Ω
x ∈ Ω
u = g Γ.
u ∈ C
2
(Ω
e
)
Ω
e
≡ Ω
e
∪Γ
x ∈ Ω
e
u(x) = o(1) |x| → ∞.
u ∈ C
2
(Ω) ∩
C
1
(
Ω) Ω
∂u
∂n
= g
Γ.
n Γ
Ω
u ∈ C
2
(Ω
e
) ∩
C
1
(
Ω
e
) Ω
e
u ∈
C
2
(Ω) ∩C
1
(Ω) Ω
∂u
∂n
+ au = g
Γ.
a : Γ → R Γ
u ∈ C
2
(Ω
e
)∩
C
1
(
Ω
e
) Ω
e
Γ
1
Γ
2
Γ
Γ = Γ
1
∪ Γ
2
,
Z
Γ
ϕdσ =
Z
Γ
1
ϕdσ +
Z
Γ
2
ϕdσ ∀ϕ ∈ C(Γ).
Γ
1
Γ
2
g
1
: Γ
1
→ R
g
2
: Γ
2
→ R
g  çàäàííàÿ íà Γ íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëåäóþùèå
êðàåâûå çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà
                               ∆u = −f.                            (5.1)
  1.1. Âíóòðåííÿÿ çàäà÷à Äèðèõëå. Íàéòè óíêöèþ       u ∈ C 2(Ω),
íåïðåðûâíóþ íà Ω, óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ (5.1) â êàæäîé òî÷êå
x ∈ Ω è ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ
                              u = g íà Γ.                          (5.2)
  1.2. Âíåøíÿÿ çàäà÷à Äèðèõëå. Íàéòè óíêöèþ        u ∈ C 2(Ωe), íåïðå-
ðûâíóþ íà Ωe ≡ Ωe ∪ Γ, óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ (5.1) â êàæäîé òî÷êå
x ∈ Ωe, ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (5.2) è óñëîâèþ ðåãóëÿðíîñòè íà áåñêîíå÷íî-
ñòè
                        u(x) = o(1) ïðè |x| → ∞.                   (5.3)
  2.1. Âíóòðåííÿÿ çàäà÷à Íåéìàíà. Íàéòè óíêöèþ          u ∈ C 2(Ω) ∩
C 1(Ω), óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ (5.1) â Ω è ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ
                             ∂u
                                = g íà Γ.                          (5.4)
                             ∂n
Çäåñü è íèæå n  åäèíè÷íûé âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê ãðàíèöå Γ îáëàñòè
Ω.
    2.2. Âíåøíÿÿ çàäà÷à Íåéìàíà. Íàéòè óíêöèþ u ∈ C 2 (Ωe ) ∩
C 1(Ωe ), óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ (5.1) â Ωe, ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (5.4)
è óñëîâèþ (5.3).
    3.1. Âíóòðåííÿÿ òðåòüÿ êðàåâàÿ çàäà÷à. Íàéòè óíêöèþ u ∈
C (Ω) ∩ C 1(Ω), óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ (5.1) â Ω è ãðàíè÷íîìó óñëî-
  2

âèþ
                             ∂u
                                + au = g íà Γ.                     (5.5)
                             ∂n
Çäåñü a : Γ → R  çàäàííàÿ íåïðåðûâíàÿ íà Γ óíêöèÿ.
    3.2. Âíåøíÿÿ òðåòüÿ êðàåâàÿ çàäà÷à. Íàéòè óíêöèþ u ∈ C 2 (Ωe )∩
C 1(Ωe ), óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ (5.1) â Ωe, ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (5.5)
è óñëîâèþ (5.3).
    Ïóñòü Γ1 è Γ2  äâà îòêðûòûõ ïîäìíîæåñòâà ãðàíèöû Γ (ñì. ðèñ. 5.1á),
òàêèå ÷òî
                           Z       Z        Z
             Γ = Γ1 ∪ Γ2 ,   ϕdσ = ϕdσ + ϕdσ ∀ϕ ∈ C(Γ).
                        Γ        Γ1         Γ2

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà Γ1 è Γ2 çàäàíû íåïðåðûâíûå óíêöèè g1 : Γ1 → R
è g2 : Γ2 → R.

                                  138

Страницы