Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

R
3
u Ω R
3
\Ω
x → ∞
u(x) = o(1) |x| → ∞.
u ∈ C
2
(Ω
e
)
Ω
e
= R
3
\Ω
Ω
R > 0 C = C
R
(u)
u(x) ≤
C
R
|x|
, |
u(x)| ≤
C
R
|x|
2
|x| ≥ R.
Ω
e
= R
3
\Ω
|x|
−1
|x|
−2
|x| → ∞
u
Ω
e
u
Ω
e
u
n = 3
Ω
e
u : Ω
e
→ R
Ω
e
≡ R
3
\Ω
Ω
e
R
3
Ω R
3
Γ ∈ C
1
Ω
e
f Ω Ω
e
îðìóëà Ïóàññîíà ïåðåõîäèò â îðìóëó (3.4) ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ãàðìîíè-
÷åñêîé óíêöèè â R3 . Àíàëîãè÷íîå (4.58) ïðåäñòàâëåíèå ñïðàâåäëèâî è äëÿ
óíêöèè u, ãàðìîíè÷åñêîé âíå øàðà Ω è íåïðåðûâíîé â R3 \Ω.
   Ñ ïîìîùüþ îðìóëû Ïóàññîíà ìîæíî âûâåñòè ðÿä âàæíûõ ñâîéñòâ ãàð-
ìîíè÷åñêèõ óíêöèé òðåõ ïåðåìåííûõ.  ÷àñòíîñòè, ìîæíî äîêàçàòü ñëå-
äóþùèé àêò î ïîâåäåíèè ïðè x → ∞ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà, óäî-
âëåòâîðÿþùåãî óñëîâèþ ðåãóëÿðíîñòè íà áåñêîíå÷íîñòè, èìåþùåìó âèä

                         u(x) = o(1) ïðè |x| → ∞.                   (4.59)

  Ëåììà 4.3.    Ïóñòü óíêöèÿ u ∈ C 2 (Ωe) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
Ëàïëàñà âî âíåøíîñòè Ωe = R3 \Ω îãðàíè÷åííîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà
Ω è óñëîâèþ ðåãóëÿðíîñòè íà áåñêîíå÷íîñòè (4.59). Òîãäà ñóùåñòâóþò
òàêèå êîíñòàíòû R > 0 è C = CR (u), ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
                         CR                 CR
                u(x) ≤       , |gradu(x)| ≤      ïðè |x| ≥ R.       (4.60)
                         |x|                |x|2
  Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ â òî÷íîñòè ïî ñõåìå
ëåììû 4.1 è ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ÷èòàòåëþ.
   Ëåììà 4.3 îçíà÷àåò, ÷òî ëþáîå êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïóàññî-
íà â íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ωe = R3 \Ω, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ ðåãó-
ëÿðíîñòè (4.59), íåîáõîäèìî óáûâàåò ñ ïîðÿäêîì |x|−1 , à åãî ïåðâûå ïðîèç-
âîäíûå ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ñ ïîðÿäêîì |x|−2 ïðè |x| → ∞. Äðóãèìè ñëîâàìè,
óñëîâèå ðåãóëÿðíîñòè íà áåñêîíå÷íîñòè äëÿ êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ u óðàâ-
íåíèÿ Ëàïëàñà â Ωe ýêâèâàëåíòíî áîëåå ñèëüíûì óñëîâèÿì óáûâàíèÿ íà
áåñêîíå÷íîñòè óíêöèè u è åå ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ. Âñïîìíèâ, ÷òî èìåí-
íî ïåðâîå óñëîâèå â (4.60) èãóðèðóåò â îïðåäåëåíèè 1.2 ãàðìîíè÷åñêîé âî
âíåøíåé îáëàñòè Ωe óíêöèè u, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî îïðåäåëå-
íèå 1.2 ïðè n = 3 ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó îïðåäåëåíèþ ãàðìîíè÷åñêîé
óíêöèè âî âíåøíåé îáëàñòè Ωe .
   Îïðåäåëåíèå 4.1. Ôóíêöèÿ u : Ωe → R íàçûâàåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé â
íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ωe ≡ R3 \ Ω, åñëè îíà äâàæäû íåïðåðûâíî äèå-
ðåíöèðóåìà, ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â Ωe è óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèþ ðåãóëÿðíîñòè íà áåñêîíå÷íîñòè (4.59).

 Ÿ5. Òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè è óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé
          êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà

  5.1. Ïîñòàíîâêà îñíîâíûõ êðàåâûõ çàäà÷ â ñëó÷àå ïðîñòðàí-
ñòâà R3 . Ïóñòü Ω  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â R3 ñ ãðàíèöåé Γ ∈ C 1, Ωe  åå
âíåøíîñòü (ñì. ðèñ. 5.1à), f  çàäàííàÿ â Ω ëèáî Ωe íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ,


                                     137

Страницы