Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

=
2
r
4
[xr(r − ρ) + ρx(r − ρ) + ξρ
2
+ R
2
(x − ξ)].
ρ ≥ 2R R ≤ ρ/2 r ≥ ρ − R ≥ ρ/2 ⇒ 1/r ≤ 2/ρ
|x| ≤ ρ |x − ξ|/r ≤ r |r − ρ| ≤ R |ξ| ≤ R
|
∂
∂x
(
ρ
2
− R
2
r
2
)| ≤
2|x||r − ρ|
r
3
+
2|x||r − ρ|ρ
r
4
+
2|ξ|ρ
2
r
4
+
2R
2
|x − ξ|
r
4
≤
88R
ρ
2
.
|
∂u(x)
∂x
| ≤
88R
ρ
2
1
2πR
Z
Γ
R
|u(y)|ds
y
≤
M
R
ρ
2
|x| ≥ 2R.
M
R
= 88M
′
R
M
′
R
= sup
|y|=2R
|u(y)|
|∂u/∂y|
C
R
= sup
|x|=2R
|u(x)|
O(1/|x|
2
)
∆u = 0, x ∈ Ω, u|
Γ
a
= g
Ω = {x = (x, y, z) ∈ R
3
: |x| < a}
∆u = 0, x ∈ Ω
e
, u|
Γ
a
= g, u(x) = o( 1) |x| → ∞
Ω
e
= R
3
\Ω Ω Γ
a
= ∂Ω
k(x, y) =
a
2
− |x|
2
|x − y|
3
, x ∈ R
3
\ Γ
a
, y ∈ Γ
a
,
                2
              =   4
                    [xr(r − ρ) + ρx(r − ρ) + ξρ2 + R2 (x − ξ)].    (4.50)
                r
Ïóñòü òî÷êà x íàñòîëüêî óäàëåíà îò íà÷àëà êîîðäèíàò, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ
óñëîâèå ρ ≥ 2R, òàê ÷òî R ≤ ρ/2. Òîãäà r ≥ ρ − R ≥ ρ/2 ⇒ 1/r ≤ 2/ρ.
Êðîìå òîãî, èìååì |x| ≤ ρ, |x − ξ|/r ≤ r, |r − ρ| ≤ R, |ξ| ≤ R. Ïðèíèìàÿ
âî âíèìàíèå ýòè îöåíêè, èç (4.50) ïîëó÷àåì, ÷òî

  ∂ ρ2 − R2       2|x||r − ρ| 2|x||r − ρ|ρ 2|ξ|ρ2 2R2|x − ξ| 88R
 |   (       )| ≤            +             +      +          ≤ 2 .
  ∂x   r2              r3           r4         r4      r4      ρ
                                                               (4.51)
Ó÷èòûâàÿ (4.51), èç (4.49) âûâîäèì, ÷òî
           ∂u(x)     88R 1                   MR
                               Z
         |       |≤ 2            |u(y)|dsy ≤ 2 ïðè |x| ≥ 2R.
            ∂x        ρ 2πR                  ρ
                              ΓR

Çäåñü MR = 88MR′ , ãäå MR′ = sup|y|=2R |u(y)|. Àíàëîãè÷íàÿ îöåíêà ñïðà-
âåäëèâà è äëÿ |∂u/∂y|. Îòñþäà âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü îöåíîê (4.47) ïðè
CR = sup|x|=2R |u(x)|.
   Îöåíêè (4.47) êîíêðåòèçèðóþò ñìûñë âåëè÷èíû O(1/|x|2 ), âõîäÿùåé â
(3.30). 4.3. Î ðåøåíèè çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â
øàðå è âíå øàðà. àññìîòðèì â ýòîì ïóíêòå êðàòêî âîïðîñ î íàõîæäåíèè
êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ âíóòðåííåé çàäà÷è Äèðèõëå

                        ∆u = 0, x ∈ Ω, u|Γa = g                    (4.52)

â øàðå Ω = {x = (x, y, z) ∈ R3 : |x| < a}, ëèáî âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå

      ∆u = 0, x ∈ Ωe , u|Γa = g, u(x) = o(1) ïðè |x| → ∞           (4.53)

âî âíåøíîñòè Ωe = R3 \Ω øàðà Ω. Çäåñü Γa = ∂Ω.
   Îòìåòèì ñðàçó, ÷òî åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèé îáåèõ çàäà÷ âûòåêàåò èç
ëåììû 3.2. ×òî êàñàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ, òî äëÿ åãî äîêàçàòåëü-
ñòâà è îäíîâðåìåííî ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ â ÿâíîì âèäå ìîæíî ïðèìåíèòü
àíàëîãè÷íî ïëîñêîìó ñëó÷àþ ìåòîä Ôóðüå, íî ñ èñïîëüçîâàíèåì ñåðè÷å-
ñêèõ óíêöèé, ââåäåííûõ ⠟ 4 ãë. 4. Âòîðîé ñïîñîá çàêëþ÷àåòñÿ â îáîñíî-
âàíèè ñïðàâåäëèâîñòè äëÿ ðåøåíèé óêàçàííûõ çàäà÷ òðåõìåðíûõ àíàëîãîâ
îðìóëû Ïóàññîíà. Îãðàíè÷èìñÿ çäåñü ïðèâåäåíèåì êðàòêîé ñõåìû âûâî-
äà ñîîòâåòñòâóþùèõ îðìóë äëÿ ðåøåíèé çàäà÷ (4.52) è (4.53). Ââåäåì
óíêöèþ
                         a2 − |x|2
               k(x, y) =        3
                                   , x ∈ R3 \ Γa , y ∈ Γa ,        (4.54)
                         |x − y|


                                   135

Страницы