Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

(i)
Ω = Ω
a
g
u(x) =
(
1
2πa
R
Γ
a
(ρ
2
−a
2
)
|x−y|
2
g(y)ds
y
, x ∈ Ω
e
,
g(x), x ∈ Γ
a
u ∈ C
2
(Ω
e
) ∩ C
0
(Ω
e
)
(i)
Γ
a
a x
0
ρ = |x − x
0
|
ρ = |x − x
0
| Ω
e
Γ
a
Ω u Ω
u(x) =
1
2πa
Z
Γ
a
a
2
− |x|
2
|x − y|
2
u(y)ds
y
, x ∈ Ω.
u
1
g = u|
Γ
a
∈ C(Γ
a
)
u
1
= u Ω
Ω
u Γ
a
x = 0
R
2
u Ω
R
2
\Ω
  Òåîðåìà 4.3.    Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (i) êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå çà-
äà÷è Äèðèõëå (4.1), (4.2) äëÿ êðóãà Ω = Ωa ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è
îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Ïóàññîíà îðìóëîé (4.35).
   Èñõîäÿ èç ðÿäà (4.24), àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî óáåäèòüñÿ â òîì,
÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé íåïðåðûâíîé óíêöèè g îðìóëà
                        ( 1 R (ρ2 −a2)
                           2πa    |x−y|2 g(y)dsy , x ∈ Ωe ,
                u(x) =         Γa                              (4.45)
                           g(x),                   x ∈ Γa
îïðåäåëÿåò êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå u ∈ C 2 (Ωe) ∩ C 0 (Ωe ) âíåøíåé çàäà÷è
Äèðèõëå (4.1)(4.3). Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò.
   Òåîðåìà 4.4. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i) êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå âíåø-
íåé çàäà÷è Äèðèõëå (4.1)(4.3) âî âíåøíîñòè êðóãà ñóùåñòâóåò, åäèí-
ñòâåííî è îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Ïóàññîíà îðìóëîé (4.45).
   Çàìå÷àíèå 4.1. Ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé çàìåíû ïåðåìåííûõ íåòðóäíî
óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Äèðèõëå âíóòðè îêðóæíîñòè Γa ðà-
äèóñà a ñ öåíòðîì â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå x0 òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
(4.35), ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü ρ = |x − x0 |. Òî÷íî òàê æå îðìóëà (4.45) ïðè
ρ = |x − x0 | äàåò ðåøåíèå âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå â îáëàñòè Ωe, ëåæàùåé
âíå Γa .
   Çàìå÷àíèå 4.2. Èç òåîðåìû 4.3 âûòåêàåò, ÷òî ëþáóþ ãàðìîíè÷åñêóþ
â êðóãå Ω óíêöèþ u, íåïðåðûâíóþ â çàìûêàíèè Ω, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
âèäå                          Z 2
                           1    a − |x|2
                   u(x) =                 u(y)dsy , x ∈ Ω.            (4.46)
                          2πa   |x − y|2
                             Γa

Äåéñòâèòåëüíî, îáîçíà÷èì ÷åðåç u1 ðåøåíèå çàäà÷è Äèðèõëå (4.1), (4.2),
îòâå÷àþùåå ãðàíè÷íîé óíêöèè g = u|Γa ∈ C(Γa).  ñèëó òåîðåìû 4.3
îíî ïðåäñòàâèìî ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Ïóàññîíà, ñòîÿùåãî â ïðàâîé ÷àñòè
(4.46). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ñèëó åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Äèðèõëå
íåîáõîäèìî âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå u1 = u â Ω. Îòñþäà âûòåêàåò (4.46).
Ôîðìóëó (4.46) òàêæå íàçûâàþò îðìóëîé Ïóàññîíà. Ïî ñâîåìó ñìûñëó
îíà äàåò èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ãàðìîíè÷åñêîé âíóòðè êðóãà Ω óíê-
öèè u ÷åðåç åå çíà÷åíèÿ íà ãðàíèöå Γa . Ïðè x = 0 îðìóëà Ïóàññîíà (4.46)
ïåðåõîäèò â îðìóëó (3.15) ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ãàðìîíè÷åñêîé óíêöèè â
R2 .  ñèëó åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå àíàëîãè÷íîå
ïðåäñòàâëåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ óíêöèè u, ãàðìîíè÷åñêîé âíå êðóãà Ω è
íåïðåðûâíîé â R2 \Ω.
    îáùåì ñëó÷àå ïîä îðìóëîé (ëèáî èíòåãðàëîì) Ïóàññîíà ïîíèìàåòñÿ
èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ëà-
ïëàñà â ïðîñòåéøèõ îáëàñòÿõ â âèäå èíòåãðàëà ïî ãðàíèöå, ñîäåðæàùåãî
ãðàíè÷íóþ óíêöèþ. Ê ýòèì ïðîñòåéøèì îáëàñòÿì îòíîñÿòñÿ, íàïðèìåð:

                                    133

Страницы