Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Ω
y
x
Γ
2
δ
2δ
x
0
*
γ
γ
)
0
(x
S
δ
S )
0
2
(x
δ
0
0
Ω
u
g
Γ
a
u(x) =
(
1
2πa
R
Γ
a
(a
2
−ρ
2
)
|x−y|
2
g(y)ds
y
, x ∈ Ω,
g(x), x ∈ Γ
a
C
2
(Ω)∩C(Ω) g ∈ C(Γ
a
)
g ≡ 1 Γ
a
u ≡ 1 Ω
g = 1, u = 1
1 =
1
2π
2π
Z
0
(a
2
− ρ
2
)dψ
a
2
− 2aρcos(ϕ − ψ) + ρ
2
=
1
2πa
Z
Γ
a
a
2
− ρ
2
r
2
ds
y
, ρ = |x| ≤ a.
g(x
0
) x
0
∈ Γ
a
u(x) − g(x
0
) =
1
2πa
Z
Γ
a
[g(y) − g( x
0
)]
a
2
− ρ
2
r
2
ds
y
, ρ = |x|.
ε > 0 x
0
S
2δ
= S
2δ
(x
0
) 2δ
g δ
                                                                               S 2 δ (x0)
                       11
                       00
                           y                            Γ2
                                                                                    γ
                       11
                       00



                                                                               x
                                                                                   γ*
                                                                           1
                                                                           0
                                                                           0 0
                                                                           1
                                    1
                                    0
                                    x                                      δ
                                                                      2δ
                       1
                       0
                       0
                                                                  1
                                                                  0
                                                                  0                     S δ (x0)
                   Ω


                               à)                                     á)
                                             èñ. 4.1


òàê êàê ðÿä (4.23), èç êîòîðîãî ïîëó÷åíà îðìóëà (4.31) (ëèáî (4.33)), ÿâëÿ-
åòñÿ ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i) è (ii) íåïðåðûâíîé óíêöèåé â çàìêíóòîì
êðóãå Ω, óäîâëåòâîðÿþùåé ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (4.2).
   Îñíîâûâàÿñü íà îðìóëå (4.33), äîêàæåì òåïåðü, ÷òî óíêöèÿ u óäîâëå-
òâîðÿåò óñëîâèþ (4.34), äàæå åñëè óíêöèÿ g ÿâëÿåòñÿ ëèøü íåïðåðûâíîé
óíêöèåé íà Γa . Ýòî áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî èíòåãðàë Ïóàññîíà, òî÷íåå óíê-
öèÿ                        ( 1 R (a2 −ρ2 )
                             2πa    |x−y|2
                                           g(y)dsy , x ∈ Ω,
                   u(x) =        Γa                                    (4.35)
                             g(x),                   x ∈ Γa
äàåò ðåøåíèå çàäà÷è 1 èç ïðîñòðàíñòâà C 2 (Ω) ∩ C(Ω) äëÿ ëþáîé g ∈ C(Γa ).
   Îòìåòèì ñíà÷àëà, ÷òî äëÿ óíêöèè g ≡ 1 íà Γa ðåøåíèåì çàäà÷è 1
ÿâëÿåòñÿ óíêöèÿ u ≡ 1 â Ω. Ýòî âûòåêàåò èç ïðèíöèïà ìàêñèìóìà. Ñ
ó÷åòîì ýòîãî, ïîëàãàÿ â (4.33) g = 1, u = 1, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó
ñîîòíîøåíèþ
           Z2π
       1               (a2 − ρ2 )dψ         1                     a2 − ρ2
                                                             Z
   1=                                    =                                dsy , ρ = |x| ≤ a.
      2π         a2 − 2aρcos(ϕ − ψ) + ρ2   2πa                       r2
           0                                                 Γa
                                                                  (4.36)
Óìíîæèì îáå ÷àñòè (4.36) íà g(x0 ), ãäå x0 ∈ Γa  èêñèðîâàííàÿ òî÷êà, è
âû÷òåì èç (4.33). Ïîëó÷èì

                      1                   a2 − ρ2
                         Z
      u(x) − g(x0) =       [g(y) − g(x0)]         dsy , ρ = |x|.  (4.37)
                     2πa                     r2
                                        Γa

Ïóñòü ε > 0  ïðîèçâîëüíîå ñêîëü óãîäíî ìàëîå ÷èñëî. Îêðóæèì òî÷êó x0
îêðóæíîñòüþ S2δ = S2δ (x0 ) ðàäèóñà 2δ (ñì. ðèñ. 4.1á), ãäå ñ ó÷åòîì íåïðå-
ðûâíîñòè óíêöèè g ÷èñëî δ âûáåðåì ñòîëü ìàëûì, ÷òîáû âî âñåõ òî÷êàõ


                                               131

Страницы