Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

y Γ
1
Γ
a
S
2δ
|g(y) − g(x
0
)| <
ε
2
.
Γ
2
= Γ
a
\Γ
1
, I
k
(x, x
0
) =
1
2πa
Z
Γ
k
[g(y) −g(x
0
)]
a
2
− ρ
2
r
2
ds
y
, k = 1, 2.
|u(x) − g(x
0
)| ≤ |I
1
(x, x
0
)| + |I
2
(x, x
0
)| ∀x ∈ Ω.
|I
1
(x, x
0
)| <
ε
2
1
2πa
Z
Γ
1
a
2
− ρ
2
r
2
ds
y
<
ε
2
1
2πa
Z
Γ
a
a
2
− ρ
2
r
2
ds =
ε
2
∀x ∈ Ω.
|I
2
(x, x
0
)|
S
δ
= S
δ
(x
0
) x
0
δ
u(x) x → x
0
x
S
δ
y ∈ Γ
2
r ≡ |x − y| > δ
[0, 2π] g |g(y)| ≤ M
′
= const Γ
a
|I
2
(x, x
0
)| ≤
2M
′
(a
2
− ρ
2
)
2πaδ
2
Z
Γ
2
ds ≤
2M
′
(a
2
− ρ
2
)
δ
2
, ρ = |x|.
δ x → x
0
ρ = |x| → a
δ
1
> 0
|I
2
(x, x
0
)| ≤
ε
2
|x − x
0
| < δ
1
.
ε
|u(x) − g(x
0
)| → 0 |x − x
0
| → 0.
u ∈ C(Ω) u ∈ C
2
(Ω)
y ÷àñòè Γ1 ãðàíèöû Γa , ëåæàùåé âíóòðè îêðóæíîñòè S2δ , âûïîëíÿëîñü
íåðàâåíñòâî
                                              ε
                             |g(y) − g(x0)| < .                           (4.38)
                                              2
Ïîëîæèì
                             1                    a2 − ρ2
                                Z
 Γ2 = Γa \Γ1 , Ik (x, x0) =       [g(y) − g(x0 )]         dsy , k = 1, 2. (4.39)
                            2πa                      r2
                                 Γk

Èç (4.37) è (4.39), î÷åâèäíî, èìååì

              |u(x) − g(x0 )| ≤ |I1(x, x0)| + |I2(x, x0)| ∀x ∈ Ω.         (4.40)

    Îöåíèì â îòäåëüíîñòè êàæäîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî íåðàâåí-
ñòâà. Ó÷èòûâàÿ (4.38), (4.36), èìååì
                      Z 2
                        a − ρ2
                                           Z 2
                ε 1                  ε 1     a − ρ2      ε
  |I1(x, x0)| <                dsy <                ds =   ∀x ∈ Ω. (4.41)
                2 2πa     r2         2 2πa     r2        2
                     Γ1                         Γa

   Îöåíèì òåïåðü |I2 (x, x0)|. Äëÿ ýòîãî ïîñòðîèì åùå îäíó îêðóæíîñòü
Sδ = Sδ (x0) ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 , èìåþùóþ ðàäèóñ δ . Ïîñêîëüêó íàñ èíòå-
ðåñóåò ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ u(x) ïðè x → x0 , òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî òî÷êà x
íàõîäèòñÿ âíóòðè îêðóæíîñòè Sδ . Òîãäà äëÿ ëþáîé òî÷êè y ∈ Γ2 âûïîëíÿ-
åòñÿ íåðàâåíñòâî r ≡ |x − y| > δ . Ó÷èòûâàÿ, êðîìå òîãî, ÷òî íåïðåðûâíàÿ
íà [0, 2π] óíêöèÿ g îãðàíè÷åíà, òàê ÷òî |g(y)| ≤ M ′ = const íà Γa , èìååì
ñîãëàñíî (4.39), ÷òî

                     2M ′ (a2 − ρ2 )        2M ′ (a2 − ρ2 )
                                     Z
       |I2(x, x0)| ≤                   ds ≤                 , ρ = |x|. (4.42)
                        2πaδ 2                    δ2
                                     Γ2

Òàê êàê ÷èñëî δ óæå çàèêñèðîâàíî, à ïðè x → x0 , î÷åâèäíî, ρ = |x| → a,
è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðàâàÿ ÷àñòü â (4.42) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, òî íàéäåòñÿ òàêîå
÷èñëî δ1 > 0, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
                                     ε
                    |I2 (x, x0)| ≤        ïðè     |x − x0 | < δ1 .        (4.43)
                                     2
Èç (4.41) è (4.43) âûòåêàåò â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ε, ÷òî

                  |u(x) − g(x0)| → 0        ïðè      |x − x0| → 0.        (4.44)

Èç (4.44), â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî u ∈ C(Ω). Êðîìå òîãî, u ∈ C 2 (Ω).
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îðìóëà (4.35) îïðåäåëÿåò êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è
Äèðèõëå (4.1), (4.2). Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò.

                                          132

Страницы