Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

R
2
R
3
§6
§4
R
2
u : Ω
e
→ R Ω
e
Ω ⊂ R
2
R > 0 C = C
R
(u)
∂u(x)
∂x
≤
C
R
|x|
2
,
∂u(x)
∂y
≤
C
R
|x|
2
|x| ≥ R.
Ω
Γ
R
R Ω Γ
R
Ω
eR
= {x ∈ Ω
e
: |x| > R} u Ω
eR
Ω
eR
x = (x, y) Γ
R
u(x) =
1
2πR
Z
Γ
R
ρ
2
− R
2
r
2
u(y)ds
y
=
=
1
2πR
Z
|y|=R
|x|
2
− R
2
|x − y|
2
u(y)ds
y
, x ∈ Ω
eR
.
ρ = |x| =
p
x
2
+ y
2
y = (ξ, η) r = |x − y| =
p
(x − ξ)
2
+ (y − η)
2
x
∂u(x)
∂x
=
1
2πR
Z
Γ
R
∂
∂x
(
ρ
2
− R
2
r
2
)u(y)ds
y
.
∂u/∂x
∂
∂x
(
ρ
2
− R
2
r
2
) =
2xr
2
− 2(ρ
2
− R
2
)(x − ξ)
r
4
=
êðóã, âíåøíîñòü êðóãà è ïîëóïëîñêîñòü â R2 , øàð, âíåøíîñòü øàðà è ïî-
ëóïðîñòðàíñòâî â R3 . Â ñëåäóþùåì ïóíêòå ìû âûâåäåì îðìóëó Ïóàññîíà
äëÿ øàðà è âíåøíîñòè øàðà. ×òî êàñàåòñÿ äðóãèõ îáëàñòåé, òî ê ýòîìó
âîïðîñó ìû âåðíåìñÿ â ãë. 7 ïðè èçëîæåíèè ìåòîäà óíêöèé ðèíà.
    Èíòåãðàë Ïóàññîíà äàåò î÷åíü óäîáíûé àïïàðàò äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ
ãàðìîíè÷åñêèõ óíêöèé. Íåêîòîðûå èç ýòèõ ñâîéñòâ áóäóò ïðèâåäåíû â §6.
 ýòîì ïóíêòå ìû, îñíîâûâàÿñü íà ñâîéñòâàõ èíòåãðàëà Ïóàññîíà (4.46),
äîêàæåì ïðèâåäåííûå â êîíöå §4 îöåíêè (3.30), îïèñûâàþùèå ïîâåäåíèå
ãàðìîíè÷åñêîé óíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ íà áåñêîíå÷íîñòè.
    Ëåììà 4.2 (î ïîâåäåíèè ãàðìîíè÷åñêèõ óíêöèé íà áåñêîíå÷íîñòè â
R ). Ïóñòü u : Ωe → R  ãàðìîíè÷åñêàÿ âî âíåøíîñòè Ωe îãðàíè÷åííîãî
  2

îòêðûòîãî ìíîæåñòâà Ω ⊂ R2 óíêöèÿ. Òîãäà ñóùåñòâóþò òàêèå êîí-
ñòàíòû R > 0 è C = CR (u), ÷òî âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ íà
áåñêîíå÷íîñòè
               ∂u(x)   CR           ∂u(x)   CR
                     ≤      ,             ≤      ïðè |x| ≥ R.       (4.47)
                ∂x     |x|2          ∂y     |x|2
  Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîìåñòèì íà÷àëî êîîðäèíàò âíóòðü        Ω è îïèøåì
îêðóæíîñòü ΓR ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò äîñòàòî÷íî áîëüøîãî ðàäèóñà
R, òàêîãî, ÷òîáû Ω öåëèêîì ëåæàëà âíóòðè ΓR (ñì. ðèñ. 3.3). Ïîëîæèì
ΩeR = {x ∈ Ωe : |x| > R}. Ïîñêîëüêó óíêöèÿ u ãàðìîíè÷íà â ΩeR è
íåïðåðûâíà â çàìûêàíèè ΩeR , òî ñ ó÷åòîì çàìå÷àíèÿ 4.2 â ëþáîé òî÷êå
x = (x, y), ëåæàùåé âíå îêðóæíîñòè ΓR , åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
èíòåãðàëà Ïóàññîíà
                               Z 2
                            1     ρ − R2
                   u(x) =                u(y)dsy =
                           2πR       r2
                                    ΓR

                    1            |x|2 − R2
                          Z
                 =                         u(y)dsy , x ∈ ΩeR .      (4.48)
                   2πR            |x − y|2
                         |y|=R
                p
Çäåñü ρ = |x| = x2 + y 2 , y = (ξ, η), r = |x − y| = (x − ξ)2 + (y − η)2 .
                                                     p
Äèåðåíöèðóÿ (4.48) ïî x, ïîëó÷èì

                ∂u(x)        1      ∂ ρ2 − R2
                               Z
                       =              (        )u(y)dsy .          (4.49)
                 ∂x        2πR     ∂x     r2
                                   ΓR

  Îöåíèì ïðîèçâîäíóþ ∂u/∂x. Èìååì

                ∂ ρ2 − R2     2xr2 − 2(ρ2 − R2 )(x − ξ)
                   (      ) =                           =
                ∂x   r2                  r4
                                         134

Страницы