Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Ω
k
u(x) =
1
4πa
Z
Γ
a
a
2
− |x|
2
|x − y|
3
g(y)dσ
y
, x ∈ Ω.
k |x| = a
x = y
1
4πa
Z
|y|=a
a
2
− |x|
2
|x − y|
3
dσ
y
≡
1
|x| < a,
−
a
|x|
|x| > a.
g Γ
a
a
u
u(x) =
(
1
4πa
R
Γ
a
a
2
−|x|
2
|x−y|
3
g(y)dσ
y
, x ∈ Ω,
g(x), x ∈ Γ
a
.
u
u(x) =
(
1
4πa
R
Γ
a
|x|
2
−a
2
|x−y|
3
g(y)dσ
y
, x ∈ Ω
e
,
g(x), x ∈ Γ
a
.
u(x) =
1
4πa
Z
|y|=a
a
2
− |x|
2
|x − y|
3
u(y)dσ
y
.
Ω u ∈ C(Ω)
Γ
a
Ω x = 0
íàçûâàåìóþ ÿäðîì Ïóàññîíà äëÿ øàðà Ω. àññìîòðèì îòâå÷àþùèé óíê-
öèè k òðåõìåðíûé èíòåãðàë Ïóàññîíà
                          Z 2
                       1    a − |x|2
               u(x) =                g(y)dσy , x ∈ Ω.       (4.55)
                      4πa   |x − y|3
                            Γa

   Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ÿäðà è èíòåãðàëà Ïóàññîíà.
   1. ßäðî k íåîòðèöàòåëüíî. Ïðè |x| = a îíî âñþäó ðàâíî íóëþ, êðîìå
òî÷êè x = y, â îêðåñòíîñòè êîòîðîé îíî íåîãðàíè÷åíî.
   2. Ñïðàâåäëèâà îðìóëà
                       a2 − |x|2          1 ïðè |x| < a,
                                        
                1
                    Z
                                 dσ y ≡      a
                                          − |x| ïðè |x| > a.
               4πa     |x − y|3
                  |y|=a

   Ïåðâîå ñâîéñòâî î÷åâèäíî, âòîðîå ñâîéñòâî äîêàçûâàåòñÿ êàê è ñîîò-
âåòñòâóþùåå ñâîéñòâî ÿäðà Ïóàññîíà äëÿ êðóãà. Ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòèõ
ñâîéñòâ ìîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùèå òåîðåìû, îáîáùàþùèå òåîðåìû 4.3 è
4.4 äëÿ ñëó÷àÿ òðåõ èçìåðåíèé. Äîêàçàòåëüñòâî èõ ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð,
â [21, ñ. 273-276℄.
   Òåîðåìà 4.5. Ïóñòü óíêöèÿ g íåïðåðûâíà íà ñåðå Γa ðàäèóñà a. Òî-
ãäà êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå u âíóòðåííåé çàäà÷è Äèðèõëå (4.52) ñóùåñòâó-
åò, åäèíñòâåííî è îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Ïóàññîíà îðìó-
ëîé:                       ( 1 R a2 −|x|2
                             4πa    |x−y|3 g(y)dσy , x ∈ Ω,
                    u(x) =       Γa                               (4.56)
                            g(x),                    x ∈ Γa .
  Òåîðåìà 4.6.   Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû 4.5 êëàññè÷åñêîå ðå-
øåíèå u âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå (4.53) ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è îïðå-
äåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Ïóàññîíà îðìóëîé:
                       ( 1 R |x|2 −a2
                         4πa    |x−y|3 g(y)dσy , x ∈ Ωe ,
               u(x) =        Γa                                (4.57)
                         g(x),                   x ∈ Γa .
  Îïÿòü îòìåòèì, ÷òî èç òåîðåìû 4.5 âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü ñîîòíîøå-
íèÿ
                           1      a2 − |x|2
                              Z
                  u(x) =                    u(y)dσy .           (4.58)
                          4πa     |x − y|3
                                 |y|=a

Ôîðìóëà (4.58), íàçûâàåìàÿ îðìóëîé Ïóàññîíà äëÿ øàðà, èìååò ñìûñë
èíòåãðàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ãàðìîíè÷åñêîé â øàðå Ω óíêöèè u ∈ C(Ω)
÷åðåç åå ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ íà ãðàíèöå (ñåðå) Γa øàðà Ω. Ïðè x = 0

                                         136

Страницы