Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

=
1
2
1 +
te
i(ϕ−ψ)
1 − te
i(ϕ−ψ)
+
te
−i(ϕ−ψ)
1 − te
−i(ϕ−ψ)
=
=
1
2
·
1 − te
−i(ϕ−ψ)
− te
i(ϕ−ψ)
+ t
2
+ te
i(ϕ−ψ)
− t
2
+ te
−i(ϕ−ψ)
− t
2
(1 − te
i(ϕ−ψ)
)(1 − te
−i(ϕ−ψ)
)
=
=
1
2
·
1 − t
2
1 − 2tcos(ϕ − ψ) + t
2
, |t| < 1.
u(ρ, ϕ) =
1
2π
2π
Z
0
a
2
− ρ
2
a
2
− 2aρcos(ϕ − ψ) + ρ
2
g(ψ)dψ.
k(ρ, ϕ; a, ψ) ≡
a
2
− ρ
2
a
2
− 2aρcos(ϕ − ψ) + ρ
2
k
ρ < a ρ > a k(ρ, ϕ; a, ψ) > 0 ρ < a 2aρ < a
2
+ ρ
2
ρ 6= a
x = (ρ, ϕ) ∈ Ω y = (a, ψ) ∈ Γ
a
ϕ, ψ ∈ [0, 2π)
r = r
xy
x y
r
2
xy
= |x − y|
2
= a
2
− 2aρcos(ϕ − ψ) + ρ
2
.
s = aψ (ds = adψ)
u(x) =
1
2πa
Z
Γ
a
(a
2
− ρ
2
)
r
2
g(y)ds
y
=
1
2πa
Z
Γ
a
(a
2
− |x|
2
)
|x − y|
2
g(y)ds
y
, ρ = |x|.
Ω
g ∈ C(Γ
a
)
g ∈ C(Γ
a
)
Ω
g
lim
x→x
0
u(x) = g(x
0
) ∀x
0
∈ Γ
a
, lim
ρ→a
ϕ→ϕ
0
u(ρ, ϕ) = g(ϕ
0
) ∀ϕ
0
∈ [0, 2π),
                              tei(ϕ−ψ)     te−i(ϕ−ψ)
                                                      
                      1
                    =    1+             +                =
                      2     1 − tei(ϕ−ψ) 1 − te−i(ϕ−ψ)
      1 1 − te−i(ϕ−ψ) − tei(ϕ−ψ) + t2 + tei(ϕ−ψ) − t2 + te−i(ϕ−ψ) − t2
   = ·                                                                 =
      2                 (1 − tei(ϕ−ψ) )(1 − te−i(ϕ−ψ) )
                    1          1 − t2
                 = ·                           , |t| < 1.               (4.30)
                    2 1 − 2tcos(ϕ − ψ) + t2
  Ó÷èòûâàÿ (4.30), ïåðåïèøåì îðìóëó (4.29) â âèäå
                              Z2π
                         1                  a2 − ρ2
              u(ρ, ϕ) =                                     g(ψ)dψ.       (4.31)
                        2π          a2 − 2aρcos(ϕ − ψ) + ρ2
                              0

  Ôîðìóëà (4.31) (ëèáî èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè (4.31)) íàçûâàåòñÿ îð-
ìóëîé Ïóàññîíà (ëèáî èíòåãðàëîì Ïóàññîíà), à âûðàæåíèå
                                               a2 − ρ2
                     k(ρ, ϕ; a, ψ) ≡
                                       a2 − 2aρcos(ϕ − ψ) + ρ2
íàçûâàåòñÿ ÿäðîì Ïóàññîíà. Îòìåòèì, ÷òî ÿäðî k îïðåäåëåíî ëèøü ïðè
ρ < a ëèáî ρ > a, ïðè÷åì k(ρ, ϕ; a, ψ) > 0 ïðè ρ < a, òàê êàê 2aρ < a2 + ρ2 ,
åñëè ρ 6= a.
   Ïîëîæèì x = (ρ, ϕ) ∈ Ω, y = (a, ψ) ∈ Γa , ϕ, ψ ∈ [0, 2π) (ñì. ðèñ.4.1à).
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ðàññòîÿíèå r = rxy ìåæäó x è y îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
                     2
                    rxy = |x − y|2 = a2 − 2aρcos(ϕ − ψ) + ρ2 .            (4.32)
Ó÷èòûâàÿ (4.32) è âûáèðàÿ â êà÷åñòâå ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ äóãîâóþ
àáñöèññó s = aψ , (ds = adψ), ïåðåïèøåì îðìóëó (4.31) â ýêâèâàëåíòíîì
âèäå
           1      (a2 − ρ2 )            1    (a2 − |x|2 )
              Z                            Z
   u(x) =                    g(y)dsy =                    g(y)dsy , ρ = |x|.
          2πa         r2               2πa    |x − y|2
               Γa                               Γa
                                                                     (4.33)
   Ïðè âûïîëíåíèè ëèøü óñëîâèÿ (i) èíòåãðàë Ïóàññîíà (4.31) ÿâëÿåòñÿ
ãàðìîíè÷åñêîé â êðóãå Ω óíêöèåé, òàê êàê ýòèì ñâîéñòâîì îáëàäàåò èñ-
õîäíûé ðÿä (4.23). Òî æå ñàìîå ñïðàâåäëèâî è äëÿ óíêöèè (4.33) ïðè
óñëîâèè, ÷òî g ∈ C(Γa). Ñîðìóëèðóåì ýòîò âàæíûé àêò â âèäå ëåììû.
   Ëåììà 4.1. Ïóñòü g ∈ C(Γa ). Òîãäà èíòåãðàë Ïóàññîíà (4.33) ÿâëÿ-
åòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé â êðóãå Ω óíêöèåé.
   Åñëè, áîëåå òîãî, óíêöèÿ g óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (i) è (ii), òî òîãäà
ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî
  lim u(x) = g(x0) ∀x0 ∈ Γa ,          lim u(ρ, ϕ) = g(ϕ0) ∀ϕ0 ∈ [0, 2π), (4.34)
                                        ρ→a
  x→x0                                 ϕ→ϕ0


                                          130

Страницы